Ta có : $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)}-\frac{1}{n^2+n}$ 

$=\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{n-(n+2)}{n(n+\text{}1)(n+2)}=\frac{-2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}<0$

Do đó $\left(u_n\right)$ là dãy giảm.

Chọn đáp án B.

Ta có:

$$\begin{gathered} 0=\frac{0}{0+1};\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1};\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1} \\ \frac{3}{4}=\frac{3}{3+1};\frac{4}{5}=\frac{4}{4+1} \end{gathered}$$

Suy ra $u_n=\frac{n}{n+1}$

Chọn đáp án B

Ta có:

$\begin{array}{l}{u}_{n+1}-u_n=\frac{3{(n+1)}^2-2(n+1)+1}{n+2}-\frac{3n^2-2n+1}{n+1}\\ =\frac{3n^2+\text{}4n+\text{}2}{n+\text{}2}-\frac{3n^2-2n+1}{n+1}\\ =\frac{(3n^2+\text{}4n+\text{}2).(n+1)-(3n^2-2n+1).(n+2)\text{}}{(n\text{}+2).(n+\text{}1)}\\ =\frac{3n^2+7n}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>0\end{array}$ 

nên dãy $\left(u_n\right)$ là dãy tăng

Chọn đáp án A

Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left(u_n\right)$ là:

$u_n=u_1+\left(n-1\right).0,1\Rightarrow u_7=-0,1+\left(7-1\right).0,1=0,5$ 

Chọn đáp án C.

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}(u_1+d)-(u_1+2d)+(u_1+4d)=10\\ (u_1+3d)+(u_1+5d)=26\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=10\\ 2u_1+8d=26\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có công sai d=3.

Chọn đáp án C

Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có n+2 số hạng với $u_1=-3,u_{n+2}=23.$

Khi đó $u_{n+2}=u_1+\left(n+1\right)d\iff n+1=\frac{u_{n+2}-u_1}{d}=\frac{23-\left(-3\right)}{2}=13\iff n=12$

Chọn đáp án A.

Ba số $5+m;7+2m;17+m$ theo thứ tự $u_1,u_2,u_3$ lập thành cấp số cộng nên

$\begin{array}{l}{u}_1+u_3=2u_2\iff \left(5+m\right)+\left(17+m\right)=2\left(7+2m\right)\\ \iff 2m+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}22=14\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4m\iff -2m=-8\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\iff m=4\end{array}$ 

Chọn đáp án C.

Các số 5; 9; 13; 17..... theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng $\left(u_n\right)$ nên

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1=5\\ d=u_2-u_1=4\end{array}\right.\stackrel{CTTQ}{\to }{u}_n=u_1+\left(n-1\right)d=5+4\left(n-1\right)=4n+1$ 

Chọn đáp án C.

Ta có: 

$\begin{array}{l}{S}_8=\frac{n}{2}.\left[2.u_1+\text{}(n-1)d\right]\iff 72=\frac{8}{2}.\left[2.u_1+(8-1).(-2)\right]\\ \iff 72=4.(2u_1-14)\iff 2u_1-14=18\\ \iff 2u_1=32\iff u_1=16\end{array}$

Chọn đáp án A

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_{12}=23\\ S_{12}=144\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{u}_1+11d=23\\ \frac{12}{2}\left(u_1+u_{12}\right)=144\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1+11d=23\\ u_1+\text{}23=24\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=\frac{23-u_1}{11}=2\end{array}\right.\end{array}$

Chọn đáp án A

Ta có: $u_2+u_{23}=60\iff \left(u_1+d\right)+\left(u_1+22d\right)=60\iff 2u_1+23d=60.$ 

Khi đó $S_{24}=\frac{n}{2}.\left[2u_1+\text{}(n-1)d\right]=\frac{24}{2}\left(2u_1+23d\right)=12.60=720.$

Chọn đáp án C

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_7=26\\ {u_2}^2+{u_6}^2=466\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_1+6d=26\\ {\left(u_1+d\right)}^2+{\left(u_1+5d\right)}^2=466\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=13-3d\left(1\right)\\ {\left(u_1+d\right)}^2+{\left(u_1+5d\right)}^2=466\left(2\right)\end{array}\right..\end{array}$

Thay (1) và (2) ta được:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{\left(13-2d\right)}^2+{\left(13+2d\right)}^2=466\iff 8d^2+338=466\\ \iff 8d^2=128\iff d^2=16\end{array} \\ \iff \left[\begin{array}{l}d=4\Rightarrow u_1=1\\ d=-4\Rightarrow u_1=25\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

Chọn đáp án A

Kiểm tra đáp án

A. $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{(n+1)}^2\text{}+3(n+1)\text{}+\text{}3}{n^2+\text{}n\text{}+\text{}1}=\frac{n^2+5n+7}{n^2+n+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ , không phải là hằng số.

Vậy $( u_n)$ không phải là cấp số nhân .

B. $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\left(n+3\right){.3}^{n+1}}{\left(n+2\right){.3}^n}=\frac{3\left(n+3\right)}{n+2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ , không phải là hằng số.

Vậy $( u_n)$  không phải là cấp số nhân .

C. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra $u_1=2;u_2=3;u_3=2;u_4=3;\mathrm{...}$

Vì $\frac{u_3}{u_2}\ne \frac{u_2}{u_1}$nên $( u_n)$ không phải là cấp số nhân .

D. $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{\left(-4\right)}^{2\left(n+1\right)+1}}{{\left(-4\right)}^{2n+1}}=\frac{{\left(-4\right)}^{2n+2\text{}+\text{}1}}{{\left(-4\right)}^{2n+1}}={(-4)}^2=16,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

 Vậy $( u_n)$ là một cấp số nhân.

Chọn đáp án D

Vì $q<0,u_2>0$ nên $u_3<0$ .

Do đó $u_3=-\sqrt{u_2.u_4}=-\sqrt{4.9}=-6$ 

Ta có: $u_2^2=u_1.u_3\Rightarrow u_1=\frac{u_2^2}{u_3}=\frac{4^2}{-6}=-\frac{8}{3}$ .        

Chọn đáp án A

Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_5=51\\ u_2+u_6=102\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_1.q^4=51\\ u_1.q+u_1.q^5=102\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\left(1+q^4\right)=51\left(1\right)\\ u_{1}q\left(1+q^4\right)=102\left(2\right)\end{array}\right.$

Lấy (2) chia (1)  ta được

$q=2\Rightarrow u_1=3\Rightarrow u_n={3.2}^{n-1}$

Mặt khác $u_n=12288\iff {3.2}^{n-1}=12288\iff 2^{n-1}=2^{12}\iff n=13$

Chọn đáp án D

Ta có: $1,x^2,6-x^2$ lập thành cấp số nhân khi và chỉ  khi:

$\begin{array}{l}{\left(x^2\right)}^2=1.\text{}(6-x^2)\iff x^4=6-x^2\iff x^4+\text{}x{}^2-6=0\\ \iff x^2=2\iff x=\pm \sqrt{2}\end{array}$

Chọn đáp án B.

$u_1=18,u_2=54\Rightarrow q=\frac{u_2}{u_1}=3.$ 

Lại có $u_n=39366\iff u_1.q^{n-1}=39366\iff {18.3}^{n-1}=39366\iff 3^{n-1}=3^7\iff n=8$

Vậy ${\text{S}}_8=18.\frac{1-3^8}{1-3}=59040$

Chọn đáp án B.

Đáp án đúng: A.

*Lời giải:

Theo giả thiết ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(x+6y\right)+\left(8x+y\right)=2\left(5x+2y\right)\\ \left(x-1\right)\left(x-3y\right)={\left(y+2\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=3y\\ \left(3y-1\right)\left(3y-3y\right)={\left(y+2\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3y\\ 0={\left(y+2\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-6\\ y=-2\end{array}\right..$

Suy ra $x^2+y^2=40.$

*Phương pháp giải:

- Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

    un = u1 + (n – 1 )d với n ≥ 2

- Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

    un+1 = unq với n ∈ N*

* Các lý thuyết thêm và các dạng toán về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân:

CẤP SỐ CỘNG

ĐỊNH NGHĨA

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi

    un+1 = un + d với n ∈ N*

Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đỗi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1

Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

    un = u1 + (n – 1 )d với n ≥ 2

TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG

Định lí 2

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Định lí 3

Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+un. Khi đó

Chú ý: Vì un = u1 + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết lại là 

CẤP SỐ NHÂN

ĐỊNH NGHĨA

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

    un+1 = unq với n ∈ N*

Đặc biệt:

    + Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0,…, 0,…

    + Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1,…, u1,…

    + Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0…

SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức

    un = u1.qn – 1 với n ≥ 2

TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN

Định lí 2

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

    uk2 = uk - 1.uk + 1 với k ≥ 2

TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

Định lí 3

Cho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ 1. Đặt Sn = u1 + u2 + … + un. Khi đó

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1,…, u1,… khi đó Sn = nu1.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Toán 11 Chương 2 (Cánh diều): Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân 

Toán 11 Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 2

50 bài tập về Cấp số cộng (có đáp án 2024) và cách giải 

Ta có :

$\begin{array}{l}{u}_{n+1}-u_n=\left[-{\left(n+1\right)}^2+n+1+1\right]-\left[-n^2+n+1\right]\\ =-n^2-2n-1+n+2+n^2-n-1=-2n<0\forall n\ge 1\end{array}$

Do đó $\left(u_n\right)$ là một dãy giảm.

Chọn đáp án D

Ta có $u_{n+1}=\frac{a.{\left(n+1\right)}^2}{\left(n+1\right)+1}=\frac{a{\left(n+1\right)}^2}{n+\text{}2}$.

Chọn đáp án A

Ta có:

8 = 7.1 + 1

15 = 7.2 + 1

22 = 7.3 + 1

29 = 7.4 + 1

36 = 7.5 + 1

Suy ra số hạng tổng quát $u_n=7n+1$.

Chọn đáp án C.

Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2}=\frac{35}{(3n+1)(3n-2)}>0$ với mọi $n\ge 1$

Suy ra $u_{n+1}>u_n\forall n\ge 1\Rightarrow$ dãy $\left(u_n\right)$ là dãy tăng.

Mặt khác: $u_n=\frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)}\Rightarrow -11\le u_n<\frac{2}{3}\forall n\ge 1$

Vậy dãy $\left(u_n\right)$  là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A

Ta có: $u_n>0\forall n\ge 1$

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt{{(n+1)}^2+(n+1)+1}}=\sqrt{\frac{n^2+n+1}{n^2+3n+3}}<1\forall n\in \mathbb{N}*$

$\Rightarrow u_{n+1}<u_n\forall \ge 1\Rightarrow$ dãy $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

Mặt khác: $0<u_n<1\Rightarrow$ dãy $\left(u_n\right)$ là dãy bị chặn.

Chọn đáp án C

Ta có:

$$\begin{gathered} u_6=27\iff u_1+5d=27\iff -3+5d=27 \\ \iff 5d=30\iff d=6 \end{gathered}$$ 

Chọn đáp án B

Từ giả thiết bài toán, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+4d+3(u_1+2d)-(u_1+d)=-21\\ 3(u_1+6d)-2(u_1+3d)=-34\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3u_1+9d=-21\\ u_1+12d=-34\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ d=-3\end{array}\right.$

Số hạng thứ 100 của cấp số: $u_{100}=u_1+99d=2+\text{}99.(-3)=-295$

Chọn đáp án B

Vì các số -4; 1; 6; x theo thứ tự $u_1,u_2,u_3,u_4$ lập thành cấp số cộng nên:

$u_4-u_3=u_3-u_2\Rightarrow x-6=6-1\iff x=11$

Chọn đáp án D.

Ba số $C_n^1;C_n^2;C_n^3$ theo thứ tự $u_1,u_2,u_3$ lập thành cấp số cộng nên

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{u}_1+u_3=2u_2\iff C_n^1+C_n^3=2C_n^2\left(n\ge 3\right)\\ \iff \frac{n!}{(n-1)!.1!}+\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.17em}}\frac{n!}{(n-3)!.3!}=2.\frac{n!}{(n-2)!.2!}\\ \iff n+\frac{\left(n-2\right)\left(n-1\right)n}{6}=2.\frac{\left(n-1\right)n}{2}\end{array} \\ \iff 1+\frac{n^2-3n+2}{6}=n-1\iff n^2-9n+14 \\ \iff \left[\begin{array}{l}n=2\\ n=7\end{array}\right.\iff n=7\left(n\ge 3\right). \end{gathered}$$

Chọn đáp án B.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}15=u_3=u_1+2d\\ d=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=19\\ d=-2\end{array}\right.$ 

$\Rightarrow u_n=u_1+\left(n-1\right)d=19\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}(n-1).(-2)=-2n+21.$

Chọn đáp án A

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-5\\ d=3\end{array}\right.\stackrel{n\leftrightarrow u_n=100}{\to }100=u_n=u_1+\left(n-1\right)d=-5+(n-1).3\\ \iff 100=3n-8\iff 3n=108\iff n=36\end{array}$

Chọn đáp án D

Ta có: $u_2+u_8+u_9+u_{15}=100$

$\begin{array}{l}\iff u_1+\text{}d+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{u}_1+\text{}7d+\text{\hspace{0.17em}}{u}_1+\text{}8d+\text{}{u}_1+\text{}14d=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}100\\ \iff 4u_1+30d=100\iff 2u_1+15d=50.\end{array}$

Khi đó $S_{16}=\frac{16}{2}\left(2u_1+15d\right)=8.50=400$ 

Chọn đáp án D.

Theo giả thiết $\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a};\frac{1}{a+b}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\frac{2}{c+a}=\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\iff \frac{2}{c+a}=\frac{a+\text{}b+\text{}b+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}c}{(b+\text{}c).(\text{}a+\text{}b)}\\ \iff \frac{c+a}{2}=\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{a+c+\text{}2b}\end{array} \\ \iff {\left(a+c\right)}^2+2b\left(c+a\right)=2\left(b^2+ab+bc+ac\right) \\ \iff a^2+c^2+2ac+2bc+2bc=2\left(b^2+ab+bc+ac\right) \\ \iff a^2+c^2=2b^2. \end{gathered}$$

Chọn đáp án C.

Dãy (u_n) là cấp số nhân

$\iff u_n=q{u}_{n-1}\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)\iff \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3}=\cdots =q\left(u_n\cancel{=}0\right),$ q là công bội.

Xét đáp án A: $128;-64;32;-16;8;\mathrm{...}\Rightarrow \frac{u_2}{u_1}=-\frac{1}{2}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3}\Rightarrow$Chọn A.

Xét đáp án B: $\sqrt{2};2;4;4\sqrt{2};\mathrm{....}\Rightarrow \frac{u_2}{u_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cancel{=}2=\frac{u_3}{u_2}\Rightarrow$loại B.

Tương tự, ta cũng loại các đáp án C, D.

Chọn đáp án A.

Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là $2;3;\frac{1}{2}$ 

Xét đáp án D: $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{\pi }^2};\frac{1}{{\pi }^4};\frac{1}{{\pi }^6};\cdots \Rightarrow \frac{u_2}{u_1}=\frac{1}{\pi }\cancel{=}\frac{1}{{\pi }^2}=\frac{u_3}{u_2}$

Chọn đáp án D.

Cấp số nhân: $\frac{1}{2}\text{; }\frac{1}{4}\text{; }\frac{1}{8}\text{; }\cdots \text{; }\frac{1}{4096}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\Rightarrow u_n=\frac{1}{2}.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{1}{2^n}.$

$u_n=\frac{1}{4096}\iff \frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^{12}}\iff n=12$ 

Chọn đáp án B.

Để ba số - 4 ; x ; - 9 theo thứ tự  lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi :

$x^2=(-4).(-9)=36\iff x=\pm 6$

Chọn đáp án C.

Giả sử 4 góc A, B, C, D (với A< B< C< D) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thỏa yêu cầu với công bội q. Ta có

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}A+B+C+D=360\\ D=27A\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}A\left(1+q+q^2+q^3\right)=360\\ A{q}^3=27A\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}q=3\\ A=9\\ D=A{q}^3=243\end{array}\right.\Rightarrow A+D=9\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}243=252.\end{array}$

Chọn đáp án C.

Đáp án đúng: B

*Phương pháp giải:

- bài toán CSC có: u1 = 7 và d = 5

- áp dụng công thức cấp số cộng để tính ra số ô vuông trên bàn cờ 

*Lời giải:

Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=7,d=5.$

Gọi n là số ô trên bàn cờ thì $u_1+u_2+\cdots +u_n=25450=S_n.$ 

Ta có $25450=S_n=n{u}_1+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d=7n+\frac{n^2-n}{2}.5$

$\iff 5n^2+9n-50900=0\iff n=100$

*Lý thuyết cần nắm và các phép toán về cấp số cộng, cấp số nhân: 

1) Cấp số cộng là một dãy số ,trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Tức là:

$u_n=u_{n-1}+d,n\ge 2$

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\left(k\ge 2\right)$

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu là $u_1$ và công sai d thì số hạng tổng quát $u_n$của nó được xác định theo công thức$u_n=u_1+(n-1)d,n\ge 2.$

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$với công sai d. Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n$. Khi đó

$S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n}{2}\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]$

2) Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q. Tức là:

$u_n=u_{n-1}.q,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

* Chú ý: Dãy $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân thì ${u_k}^2=u_{k-1}.u_{k+1}\left(k\ge 2\right)$.

Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội q thì số hạng tổng quát $u_n$của nó được xác định bởi công thức

$u_n=u_1.q^{n-1},n\ge 2$

 Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với công bội $q\ne 1$. Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n$. Khi đó

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Cấp số cộng – Toán 11 Cánh diều

Toán 11 giải sgk Bài 2 (Cánh diều): Cấp số cộng