Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?

Đáp án đúng: B

*Phương pháp giải:

- bài toán CSC có: u1 = 7 và d = 5

- áp dụng công thức cấp số cộng để tính ra số ô vuông trên bàn cờ 

*Lời giải:

Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=7,d=5.$

Gọi n là số ô trên bàn cờ thì $u_1+u_2+\cdots +u_n=25450=S_n.$ 

Ta có $25450=S_n=n{u}_1+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d=7n+\frac{n^2-n}{2}.5$

$\iff 5n^2+9n-50900=0\iff n=100$

*Lý thuyết cần nắm và các phép toán về cấp số cộng, cấp số nhân: 

1) Cấp số cộng là một dãy số ,trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Tức là:

$u_n=u_{n-1}+d,n\ge 2$

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\left(k\ge 2\right)$

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu là $u_1$ và công sai d thì số hạng tổng quát $u_n$của nó được xác định theo công thức$u_n=u_1+(n-1)d,n\ge 2.$

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$với công sai d. Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n$. Khi đó

$S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n}{2}\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]$

2) Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q. Tức là:

$u_n=u_{n-1}.q,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

* Chú ý: Dãy $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân thì ${u_k}^2=u_{k-1}.u_{k+1}\left(k\ge 2\right)$.

Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội q thì số hạng tổng quát $u_n$của nó được xác định bởi công thức

$u_n=u_1.q^{n-1},n\ge 2$

 Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với công bội $q\ne 1$. Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n$. Khi đó

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Cấp số cộng – Toán 11 Cánh diều

Toán 11 giải sgk Bài 2 (Cánh diều): Cấp số cộng

70 câu trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân cơ bản (P1)