Các số  x+ 6y ;  5x + 2y; 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số  x- 1 ; y + 2 ; x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính $x^2 + y^2$

Đáp án đúng: A.

*Lời giải:

Theo giả thiết ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(x+6y\right)+\left(8x+y\right)=2\left(5x+2y\right)\\ \left(x-1\right)\left(x-3y\right)={\left(y+2\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=3y\\ \left(3y-1\right)\left(3y-3y\right)={\left(y+2\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3y\\ 0={\left(y+2\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-6\\ y=-2\end{array}\right..$

Suy ra $x^2+y^2=40.$

*Phương pháp giải:

- Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

    un = u1 + (n – 1 )d với n ≥ 2

- Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

    un+1 = unq với n ∈ N*

* Các lý thuyết thêm và các dạng toán về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân:

CẤP SỐ CỘNG

ĐỊNH NGHĨA

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi

    un+1 = un + d với n ∈ N*

Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đỗi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1

Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

    un = u1 + (n – 1 )d với n ≥ 2

TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG

Định lí 2

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Định lí 3

Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+un. Khi đó

Chú ý: Vì un = u1 + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết lại là 

CẤP SỐ NHÂN

ĐỊNH NGHĨA

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

    un+1 = unq với n ∈ N*

Đặc biệt:

    + Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0,…, 0,…

    + Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1,…, u1,…

    + Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0…

SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức

    un = u1.qn – 1 với n ≥ 2

TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN

Định lí 2

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

    uk2 = uk - 1.uk + 1 với k ≥ 2

TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

Định lí 3

Cho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ 1. Đặt Sn = u1 + u2 + … + un. Khi đó

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1,…, u1,… khi đó Sn = nu1.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Toán 11 Chương 2 (Cánh diều): Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân 

Toán 11 Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 2

50 bài tập về Cấp số cộng (có đáp án 2024) và cách giải