Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Đáp án cần chọn là: A

Dễ có AMON là hình bình hành

(ON // AM; OM // AN)

Ta chứng minh OM = ON

Xét tam giác OBM và tam giác OCN có:

$\widehat{OBM}=\widehat{OCN}$ = 90^o;

OB = OC = R,

và $\widehat{OMB}=\widehat{OCN}=\widehat{A}$

 $△$OCN

$\Rightarrow$AMON là hình thoi

Đáp án cần chọn là: B

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn

Đáp án cần chọn là: B

Từ hình vẽ ta có AB, AC là tiếp tuyến của (O) tại B, C

suy ra OC$\perp$AC tại C

Suy ra $△$ACO (c-g-c)

nên $\widehat{BAO}=\widehat{CAO}=\frac{\widehat{BAC}}{2}$ = 30^o

Xét $△$ABO có:

 OB = AO.sinA = 10.sin30^o = 5cm

Đáp án cần chọn là: B

Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến tiếp tuyến bằng bắn kính của đường tròn đó

Đáp án cần chọn là: C

Gọi I là giao điểm các tia phân giác của $\widehat{xPQ};\widehat{yQP}$ và A, B, C lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, PQ và Oy

Vì I thuộc phân giác của góc xPQ nên IA = IB

Xét PAI và PBI có:

+ IA = IB (cmt)

+ Chung PI

+ $\widehat{PAI}=\widehat{PBI}$ = 90^o

nên PAI = PBI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra PA = PB

Lí luận tương tự, ta có QB = QC.

OA + OC = OP + PA + OQ + QC

= OP + PB + OQ + QB

= OP + PQ + QO = 2a

(do chu vi OPQ bằng 2a)

Vì IA = IB và IB = IC (cmt)

nên IA = IC

Xét OAI và OCI có:

+ IA = IC (cmt)

+ $\widehat{OAI}=\widehat{OCI}$ = 90^o

+ cạnh chung OI

nên OAI = OCI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\frac{2a}{2}$ = a

Vì a không đổi và A, C thuộc tia Ox, Oycố định nên A và C cố định

Do A và C lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, Oy nên hai đường thẳng AI và CI cố định hay I cố định

Do I và A cố định nên độ dài đoạn thẳng AI không đổi

Do IA = IB (cmt) nên IB là bán kính của đường tròn (I; IA)

mà IB$\perp$PQ tại B nên PQ tiếp xúc với đường tròn (I; IA) cố định

Đáp án cần chọn là: A

Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến tiếp tuyến bằng bắn kính của đường tròn đó

Đáp án cần chọn là: B

Gọi I là giao điểm của MN và OP

Ta có OP $\perp$ MN tại I  

$\Rightarrow$I là trung điểm của MN

Nên IM = $\frac{MN}{2}=\frac{12}{2}$ = 6cm

Xét tam giác OMI có

OI = $\sqrt{O{M}^2-M{I}^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}$ = 8cm

Xét tam giác vuông MPO, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

MO² = OI . OP  

$\frac{M{O}^2}{OI}=\frac{{10}^2}{8}$ = 12,5cm

Vậy OP = 12,5cm

Đáp án cần chọn là: A

Vì D thuộc đường tròn đường kính AB

nên BD$\Rightarrow$BD là đường cao của  ABG,

mà BD là đường phân giác của $△$ABG (gt)

nên BD vừa là đường cao vừa là

đường phân giác của $△$ABG

Do đó $△$ABG cân tại B

suy ra BD là trung trực của AG (1)

Vì H đối xứng với E qua D (dt)

nên D là trung điểm của HE (2)

Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của HE và AG

Do đó tứ giác AHGE là hình bình hành

(dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Mà HE$△$HGE là hình thoi

(dấu hiệu nhận biết hình thoi).

Đáp án cần chọn là: B

Từ hình vẽ ta có AB, AC là tiếp tuyến của (O) tại B, C

suy ra OC$\perp$AC tại C

Suy ra $△$ ACO (c-g-c)

nên  $\widehat{BAO}=\widehat{CAO}=\frac{\widehat{BAC}}{2}$= 30^o

Xét $△$ABO có:

AB = AO.cosA = 10.cos30^o = 5$\sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: C