Đáp án D.

Ta có $P=\sqrt[4]{x^5}=x^{\frac{5}{4}}.$

Đáp án D.

Ta có ${\log }_{a}xy={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ nên đáp án D sai.

Đáp án A.

Điều kiện: $x-1\ne 0\iff x\ne 1\Rightarrow D=ℝ\backslash \left\{1\right\}.$

Đáp án D.

Ta có $y\text{'}=3x^2-3;y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\Rightarrow y=-2\\ x=-1\Rightarrow y=2\end{array}\right..$ Do $a=1>0$ nên giá trị cực tiểu là -2, giá trị cực đại.

Đáp án C.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 tiệm cận ngang là y = 3

Đáp án C.

Ta có $AM=\sqrt{A{B}^2-{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2}=2a.$ Khi quay tam giác quanh trục MA thì ta được hình nón có bán kính $r=a,$ đường cao $h=2a.$ Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{2}{3}\pi a^3.$

Đáp án D.

Đề 2 mặt phẳng song song với nhau thì $\frac{1}{2}=\frac{-m^2}{-8}=\frac{2}{4}\ne m-\frac{3}{2}\Rightarrow m=-2.$

Đáp án đúng là B.

Lời giải

Ta có $y\text{'}=4x^3-4x.$ Gọi $M\left(a;a^4-2a^2-1\right)$ là tọa độ tiếp điểm. tiếp tuyến song song với trục hoành thì có hệ số góc bằng 0.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là

$k=y\text{'}\left(a\right)=4a^3-4a=0\iff \left[\begin{array}{l}a=0\Rightarrow M\left(0;-1\right)\\ a=1\Rightarrow M\left(1;-2\right)\\ a=-1\Rightarrow M\left(-1;-2\right)\end{array}\right.$

Do đó có 2 tiếp tuyến là y = -1 và y = -2

*Phương pháp giải:

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(x_A, y_A) hệ số góc k có dạng

d : y = k(x - x_A) + y_A (∗)   

Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (∗), ta được tiếp tuyến cần tìm

*Lý thuyết:

- Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M₀(x₀; f(x₀)).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y = f’(x₀).(x – x₀) + y₀

Xem thêm

50 bài tập về tiếp tuyến (có đáp án 2024) và cách giải 

Đáp án C.

Ta thấy đồ thị hàm số là hàm trùng phương nên chỉ có C thỏa mãn.

Đáp án C.

Ta có

$y\text{'}=x^2+2mx+m^2+m+1;y"=2x+2m$

Để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 thì 

$\left\{\begin{array}{l}y\text{'}\left(1\right)=0\\ y"\left(1\right)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+3m+2=0\\ 2m+2<0\end{array}\right.\Rightarrow m=-2.$

Đáp án C.

Thể tích của hình trụ là $V=\pi r^{2}h=\pi .a^2.3a=3\pi a^3.$

Đáp án D.

Đồ thị hàm số $y=2^{-x}$ chỉ có TCN $y=0$ mà không có tiệm cận đứng nên D sai.

Đáp án D.

Ta có

$A\text{'}B\cap \left(ABC\right)=\left\{B\right\}$ và $A\text{'}A\perp \left(ABC\right)$

$\Rightarrow \widehat{\left(A\text{'}B,\left(ABC\right)\right)}=\widehat{\left(A\text{'}B,AB\right)}=\widehat{A\text{'}BA}={60}^0$

Ta có

$$\begin{gathered} \sin \widehat{A\text{'}BA}=\frac{\text{AA}\text{'}}{A\text{'}B} \\ \Rightarrow \text{AA'=A'B\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}sin}\widehat{A\text{'}BA}=2a.\sin {60}^0=a\sqrt{3} \end{gathered}$$

Ta có $V_{ABC.\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\text{AA}\text{'}.S_{ABC}=a\sqrt{3}.a^3=a^3\sqrt{3}.$

Đáp án B.

Hàm số đồng biến khi $y\text{'}>0\iff 3x^2+6x>0\iff \left[\begin{array}{l}x>0\\ x<-2\end{array}\right..$

Đáp án B.

Ta có $-x^3+3x^2-m=0\iff x^3-3x^2+1=1-m.$ Ta thấy số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1$ và $y=1-m.$

Dựa vào đồ thị ta suy ra để cắt nhau tại 3 điểm thì $-3<1-m<1\iff 0<m<4.$

Đáp án B.

Ta có

$$\begin{gathered} y={\sin }^{3}x-\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+\mathrm{s}\text{inx}+2 \\ =t^3+2t^2+t+1\left(t=\mathrm{s}\text{inx}\in \left[-1;1\right]\right). \end{gathered}$$

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}t\in \left(-1;1\right)\\ f\text{'}\left(t\right)=3t^3+4t+1=0\end{array}\right.\iff t=-\frac{1}{3}.$

Tính $f\left(-1\right)=1;f\left(1\right)=5;f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{23}{27}.$

Đáp án D.

Kẻ $SH\perp BC\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right).$ 

Cạnh $SH=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.\frac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\frac{a^2}{2}.$

Đáp án B.

Ta có $f\left(x\right)=12x^2-6x+2.$

Đáp án C.

Ta dễ có $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;0\right).$

Đáp án A.

Ta có $\int \frac{1}{1+x}dx=\ln \left|x+1\right|+C.$

Đáp án A.

Ta có $\ln \left[x\left(3x-2\right)\right]=0\iff x\left(3x-2\right)=1\Rightarrow x=1\left(x>\frac{2}{3}\right).$

Đáp án A.

Ta có $I\left(\frac{3-1}{2};\frac{2+0}{2};\frac{1+5}{2}\right)=\left(1;1;3\right).$

Đáp án A.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{2}\\ 2x-1<x+2\end{array}\right.\iff \frac{1}{2}<x<3.$

Đáp án A.

Hình đa diện đều có tất cả các mặt là ngũ giác có 30 cạnh.

Đáp án B.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}F\left(x\right)=\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C\\ F\left(0\right)=\frac{1}{\ln 3}+C=-\frac{1}{\ln 3}\Rightarrow C=-\frac{2}{\ln 3}\end{array}\right.\Rightarrow F\left({\log }_{3}7\right)=\frac{5}{\ln 3}.$

Đáp án B.

Ta có $V=abc.$

Đáp án D.

${\log }_{7}x={\log }_{7}a{b}^2-{\log }_7{a}^{3}b={\log }_7\frac{a{b}^2}{a^{3}b}={\log }_{7}b{a}^{-2}.$

Do đó $x=a^{-2}b.$

Đáp án A.

Ta có: $\int \left[3f\left(x\right)+1\right]dx=3\int f\left(x\right)dx+x+C=3F\left(x\right)+x+C.$

Đáp án B.

PT hoành đồ giao điểm là:

$\frac{2x+1}{x-1}=3\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ 2x+1=3x-3\end{array}\right.\iff x=4.$

Vậy giao điểm của 2 đồ thị là $\left(4;3\right).$

Đáp án B.

PT mặt cầu cần tìm là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=14.$

Đáp án C.

Ta có:

$GT\iff 5^{x+2y}+x+2y-3^{-x-2y}=5^{xy-1}-3^{1-xy}+xy-1.$

Xét hàm số

$f\left(t\right)=5^{t+t-3^{-t}}\Rightarrow f\left(t\right)=5^t\ln 5+1+3^{-t}\ln 3>0\left(\forall t\in ℝ\right)$

Do đó hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ suy ra $f\left(x+2y\right)=f\left(xy-1\right)\iff x+2y=xy-1$

$\iff x=\frac{2y+1}{y-1}\Rightarrow T=\frac{2y+1}{y-1}+y.$ Do $x>0\Rightarrow y>1$ 

Ta có: $T=2+y+\frac{3}{y-1}=3+y-1+\frac{3}{y-1}\ge 3+2\sqrt{3}.$

Đáp án D.

Do (P) cắt Ox; Oy; Oz lần luợt tại A,B, C.

Gọi $A\left(a;0;0\right);B\left(0;b;0\right);C\left(0;0;c\right)\left(a;b;c>0\right)$

Khi đó

$\left(ABC\right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1;OA+OB+OC=a+b+c$

(P) qua $M\left(9;1;4\right)\Rightarrow \frac{9}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}=1$

Áp dụng BĐT: $\left(x+y+z\right)\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)\ge {\left(a+b+c\right)}^2$

ta có: $\left(a+b+c\right)\left(\frac{9}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\ge {\left(3+1+2\right)}^2=36$

Do đó $OA+OB+OC=a+b+c\ge 36$

Dấu bằng xảy ra

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{9}{a^2}=\frac{1}{b^2}=\frac{4}{c^2}\\ \frac{9}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}=1\end{array}\right.\iff a=18;b=6;c=12 \\ \Rightarrow \left(ABC\right):\frac{x}{18}+\frac{y}{6}+\frac{z}{12}=1. \end{gathered}$$

Đáp án B.

Ta có $y\text{'}=3m{x}^2-6mx-3.$ Để đồ thị hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ và đồ thị của nó không có tiếp tuyến song song với trục hoành thì $y\text{'}<0\iff m{x}^2-2mx-1<0.$

·        Với $m=0$ thì $-1<0$ đúng. 

·        Với $m\ne 0$ để $y\text{'}<0$ thì

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}m<0\\ \Delta \text{'}<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<0\\ m^2+m<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m<0\\ -1<m<0\end{array}\right.\iff -1<m<0. \end{gathered}$$

Do đó để m thõa mãn đề bài thì $-1<m\le 0.$

Đáp án D.

Ta có:

$$\begin{gathered} \int f\left(x\right)dx=\int \left(\frac{m}{\pi }+\frac{1+c\text{os2x}}{2}\right)dx \\ =\frac{{\displaystyle m}}{{\displaystyle \pi }}x+\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 2}}+\frac{{\displaystyle \sin 2x}}{{\displaystyle 4}}+C=F\left(x\right) \end{gathered}$$ 

Lại có: $\left\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=\frac{1}{4}\\ F\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}C=\frac{1}{4}\\ \frac{m}{4}+\frac{\pi }{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0\end{array}\right.\iff m=\frac{\pi }{2}-2.$

Đáp án C.

$f\text{'}\left(x\right)=\left(x+1\right)e^x\Rightarrow f\left(x\right)=x{e}^x.$

Khi đó đặt $I=\int x{e}^{x}dx$

Đặt

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=e^{x}dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=e^x\end{array}\right. \\ \Rightarrow I=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x=\left(x-t\right)e^x+C \end{gathered}$$

Do đó $a=1;b=-1\Rightarrow a+b=0.$

Đáp án C.

Số chu kỳ tăng lương là $\frac{36}{3}=12$ chu kỳ

3 năm = 36 tháng

Số tiền anh nhận được sau 36 năm là:

$T=36\left[4+4{\left(1+7\%\right)}^1+4{\left(1+7\%\right)}^2+\mathrm{...}+4{\left(1+7\%\right)}^{11}\right]$

$=\mathrm{36.4.}\frac{1-{\left(1+7\%\right)}^{12}}{1-\left(1+7\%\right)}=2575,937$ triệu đồng.

Đáp án D.

Ta có:

$$\begin{gathered} PT\iff m{\left(\frac{9}{4}\right)}^x-\left(2m+1\right){\left(\frac{6}{4}\right)}^x+m\le 0 \\ \iff m{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}-\left(2m+1\right){\left(\frac{3}{2}\right)}^x+m\le 0 \end{gathered}$$

Đặt $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x;$ do $x\in \left[0;1\right]\Rightarrow t\in \left[1;\frac{3}{2}\right].$ Khi đó PT trở thành: $m{t}^2-\left(2m+1\right)t+m\le 0\iff m\left(t^2-2t+1\right)\le t$

Rõ ràng t = 1 là nghiệm của BPT đã cho.

Với $t\in \left(1;\frac{3}{2}\right]\Rightarrow m\le \frac{t}{{\left(t-1\right)}^2}=f\left(t\right),$ xét $f\left(x\right)$ với $t\in \left(1;\frac{3}{2}\right]$ ta có:

$f\text{'}\left(t\right)=\frac{\left(t-1\right)-2t}{{\left(t-1\right)}^3}=\frac{-t-1}{{\left(t-1\right)}^2}<0\left(\forall t\in \left(1;\frac{3}{2}\right]\right)$

do đó $f\left(t\right)$  nghịch biến trên $\left(1;\frac{2}{3}\right].$

Do đó BPT nghiệm đúng vơi $\forall t\in \left(1;\frac{3}{2}\right]\iff m\le \underset{1;\frac{3}{2}}{Min}f\left(t\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)=6$

Vậy có 6 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.

Đáp án D.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

$\frac{x}{3}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1$ hay $x+y+z-3=0.$

Dễ thấy $D\in \left(ABC\right);E\notin \left(ABC\right)$ do đó có 7 mặt phẳng đi qua đi qua 3 điểm trong 7 điểm đã cho bao gồm $\left(ABC\right);\left(EAB\right);\left(EBC\right);\left(ECD\right);\left(EDA\right);\left(EAC\right);\left(EBD\right).$

Đáp án D.

Dựa vào đồ thị ta thấy. 

Khi $x\in \left(0;3\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)<0$ hàm số nghịch

biến trên khoảng $\left(0;3\right)$ 

Khi $x\in \left(3;\frac{7}{2}\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)>0$ hàm số đồng

biến trên khoảng $\left(3;\frac{7}{2}\right).$

Từ đó suy ra $\underset{\left[0;\frac{7}{2}\right]}{Min}f\left(x\right)=f\left(3\right).$

Đáp án C.

Chọn hệ trục tọa độ với $H\equiv O\left(0;0;0\right)D\left(\frac{1}{2};0;0\right).$ Chọn $a=1.$

$M\left(0;1;0\right);N\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right);S\left(0;0;\frac{\sqrt{3}}{2}\right);C\left(\frac{1}{2};1;0\right)$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}\\ y=\frac{3}{4}\\ z=t\end{array}\right.\Rightarrow$ tâm mặt cầu có tọa độ $K\left(\frac{1}{4};\frac{3}{4};t\right)$ 

Giải:

$$\begin{gathered} SK=KC\iff \frac{1}{16}+\frac{9}{16}+{\left(t-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+t^2 \\ \iff t=\frac{5\sqrt{3}}{12}\Rightarrow R=KC=\frac{\sqrt{93}}{12}. \end{gathered}$$

Đáp án A.

Phần diện ích toàn phần lớn hơn chính

là 2 lần diện tích 1 đáy.

Khi đó $2\pi r_{\text{d}}^2=32\pi \Rightarrow r_d=4;h=7$ 

Do đó $T_m=T_c+32\pi =2\pi rh+2\pi r^2+32\pi =120\pi .$

Đáp án D.

Ta có: $y\text{'}=x^3-4mx=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m\end{array}\right.$ 

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì $m>0.$

Khi đó tọa độ điểm cực trị là:

$A\left(0;-2m^2+m^4\right);B\left(\sqrt{m};m^4-3m^2\right);C\left(-\sqrt{m};m^4-3m^2\right)$

Do ABCD là hình thoi nên $AB=BD\iff m+m^4=m+{\left(m^4-3m^2+3\right)}^2$

$$\begin{gathered} \iff m^2=m^4-3m^2+3\iff m^4-4m^2+3=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=\sqrt{3}\end{array}\right.\left(Dom>0\right). \end{gathered}$$

Đáp án A.

Ta chứng minh được công thức tỷ số thể tích tối với khối hộp như sau (học sinh có thể tự chứng minh).

$\frac{V_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}.MNPQ}}{V_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}.ABCD}}=\frac{1}{2}\left(\frac{A\text{'}M}{A\text{'}A}+\frac{C\text{'}P}{C\text{'}C}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{B\text{'}Q}{B\text{'}B}+\frac{DN}{D\text{'}D}\right)=\frac{7}{2}$

Do đó thể tích khối đa diện nhỏ hơn là $\frac{15}{2}V=\frac{5}{2}.2018=\frac{5045}{6}.$

Đáp án D.

Ta có

$y\text{'}=\left[3e^{3x}-\left(m-1\right)e^x\right].{\left(\frac{2017}{2018}\right)}^{e^{3x}-\left(m-1\right)e^x+1}.\ln \left(\frac{2017}{2018}\right).$

Để hàm số đồng biến trên $\left(1;2\right)\iff y\text{'}\ge 0;\forall \text{x}\in \left(1;2\right)\iff 3e^{3x}-\left(m-1\right)e^x\le 0;\forall x\in \left(1;2\right)$

$$\begin{gathered} \iff 3e^{2x}-m+1\le 0;\forall x\in \left(1;2\right) \\ \iff m-1\ge 3e^{2x};\forall x\in \left(1;2\right)\iff m\ge 3e^4+1. \end{gathered}$$

Đáp án D.

Xét hàm số

$g\left(x\right)=2^{f\left(x\right)}-3^{f\left(x\right)}\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right){.2}^{f\left(x\right)}.\ln 2-f\text{'}\left(x\right){.3}^{f\left(x\right)}.\ln 3;\forall x\in ℝ.$

Ta có

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0\\ 3^{f\left(x\right)}.\ln 2=3^{f\left(x\right)}.\ln .\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0\\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^{f\left(x\right)}=\frac{\ln 3}{\ln 2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0\left(1\right)\\ f\left(x\right)={\log }_{\frac{2}{3}}\frac{\ln 3}{\ln 2}\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\left(x\right),$ ta thấy: 

·        Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt (vì hàm số $y=f\left(x\right)$ có 3 điểm cực trị).

·        Phương trình (2) vô nghiệm vì đường thẳng $y={\log }_{\frac{2}{3}}\frac{\ln 3}{\ln 2}<-1$ không cắt ĐTHS.

Vậy phương trình $g\text{'}\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt hay hàmsố đã cho có 3 điểm cực trị.

Đáp án D.

Ta có

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }y=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{m{x}^2+3mx+1}}{x+2} \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\left|x\right|\sqrt{m+\frac{3m}{x}+\frac{1}{x^2}}}{x\left(1+\frac{1}{2}\right)}=\left[\begin{array}{l}\sqrt{m}khix\to +\infty \\ -\sqrt{m}khix\to -\infty \end{array}\right.. \end{gathered}$$

Suy ra với $m>0$ đồ thị hàm số đã cho có

2 đường tiệm cận ngang.

Để hàm số có 3 đường tiệm cận $\iff m.{\left(-2\right)}^2+3m.\left(-2\right)+1\ge 0\iff m\le \frac{1}{2}.$

Vậy $0<m\le \frac{1}{2}.$

Đáp án D.

Ta có:

$$\begin{gathered} 9^x+9^{-x}=2\iff {\left(3^x\right)}^2+\frac{1}{{\left(3^x\right)}^2}=23 \\ \iff {\left(3^x\right)}^2+{2.3}^x.\frac{1}{3^x}+\frac{1}{{\left(3^x\right)}^2}=25\iff 3^x+3^{-x}=5. \end{gathered}$$

Vậy $A=\frac{5+5}{1-5}=\frac{10}{-4}=-\frac{5}{2}=\frac{a}{b}\to a.b=\left(-5\right).2=-10.$

Đáp án B.

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều

cao của hình trụ $\Rightarrow V=\pi R^{2}h=150$

Chi phí để làm đáy bể là

$T_1=100x{S}_d=100\pi R^2$ nghìn đồng.

Chi phí để làm thân bể là

$T_2=90x{S}_{xq}=180\pi Rh$ nghìn đồng.

Chi phí để làm nắp bể là

$T=T_1+T_2+T_3=180\pi Rh+220\pi R^2$ 

Mà $Rh=\frac{150}{\pi R}\Rightarrow T=220\pi R^2=\frac{13500}{R}\Rightarrow R=\sqrt[3]{\frac{13500}{220\pi }.}$

Vậy $\frac{h}{R}=\frac{22}{9}.$