50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải (Đề số 9)

Câu 1:

17/06/2026

Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số $y = \frac{x}{x^{2} + 1} .$

A. $(- \infty; - 1) v à (1; + \infty)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(- \infty; + \infty)$

D. $(- 1; 1)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}$ để hàm số đồng biến thì $y' > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1.$

Câu 2:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 2}{3}$ và mặt phẳng $(P) : 3 x + y - 2 z + 5 = 0.$ Tìm tọa độ giao điểm M của d và (P)

A. $M (5; 0; 8)$

B. $M (3; - 4; 4)$

C. $M (- 3; - 4; - 4)$

D. $M (- 5; - 4; - 4)$

Xem đáp án

Đáp án C

Do $M \in d \Rightarrow M (1 + 2 t; - 2 + t; 2 + 3 t)$ mà $M \in (P) \Rightarrow 3 (1 + 2 t) + (- 2 + t) - 2 (2 + 3 t) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 2$

Do đó $M (- 3; - 4; - 4) .$

Câu 3:

17/06/2026

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị $y = 1 + \frac{2 x + 2}{x - 1} .$

A. $y = 1$

B. $y = 3$

C. $y = 2$

D. $x = 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y = \frac{3 x + 1}{x - 1}$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 3

Câu 4:

17/06/2026

Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hính nón đó.

A. $S_{x q} = π a^{2}$

B. $S_{x q} = 2 π a^{2}$

C. $S_{x q} = \frac{1}{2} π a^{2}$

D. $S_{x q} = \frac{3}{4} π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Hình nón có bán kính đáy $r = \frac{a}{2},$ đường sinh $l = a \Rightarrow S_{x q} = π r l = \frac{1}{2} π a^{2}$

Câu 5:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $I (- 1; 2; 1)$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y - 2 z - 7 = 0.$ Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm I và tiếp xúc với (P)

A. $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

B. $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

C. $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3$

D. $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $R = d (I, (P)) = 3 \Rightarrow (S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

Câu 6:

17/06/2026

Cho số phức $z = 3 - 2 i .$ Tìm điểm biểu diễn của số phức $w = z + i . \bar{z}$

A. $M (1; 1)$

B. $M (1; - 5)$

C. $M (5; - 5)$

D. $M (5; 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\bar{z} = 3 + 2 i \Rightarrow w - z + i \bar{z} = 3 - 2 i + i (3 + 2 i) = 1 + i \Rightarrow M (1; 1)$

Câu 7:

17/06/2026

Cấp số nhân $(u_{n})$ có công bội âm, biết $u_{3} = 12, u_{7} = 192$ Tìm $u_{10}$

A. $u_{10} = 1536$

B. $u_{10} = 3072$

C. $u_{10} = - 1536$

D. $u_{10} = - 3072$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi số hạng thứ nhất và công bội của cấp số nhân lần lượt là $u_{1}$ và $q (q > 0)$ .

Ta có:

$\{\begin{cases} u_{3} = u_{1} q^{2} = 12 \\ u_{7} = u_{1} q^{6} = 192 \end{cases} \Rightarrow q^{4} = 16 \Rightarrow q = - 2$

( vì $q < 0$ ) $\Rightarrow u_{1} = 3 \Rightarrow u_{10} = 3. {(- 2)}^{9} = - 1536$

Câu 8:

17/06/2026

Cho hàm số $f (x) = 2^{x^{2} + a} v à f' (1) = 2 l n 2.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $- 2 < a < 0$

B. $0 < a < 1$

C. $a > 1$

D. $a < - 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

$f' (x) = 2 x {.2}^{x^{2} + a} \ln 2 \Rightarrow f' (1) = 2 \ln {2.2}^{a + 1} = 2 \ln 2 \Rightarrow 2^{a + 1} = 1 \Rightarrow a = - 1$

Câu 9:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh huyền bằng 2a và $S A = 2 a, S A$ vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. $V = \frac{4 a^{3}}{3}$

B. $V = 4 a^{3}$

C. $V = 2 a^{3}$

D. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$A B = A C = a \sqrt{2} \Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} . a \sqrt{2} . a \sqrt{2} = a^{2} \Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} .2 a . a^{2} = \frac{2 a^{3}}{3} .$

Câu 10:

17/06/2026

Đồ thị hàm nào dưới đây cắt trục hoành tại một điểm?

A. $y = \log_{2} (x^{2} + 2)$

B. $y = \frac{1}{2^{x}}$

C. $y = \log x$

D. $y = e^{x}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\log x = 0 \Leftrightarrow x = 1$ nên $y = \log x$ cắt trục hoành tại 1 điểm.

Câu 11:

17/06/2026

Tìm các hàm số $f (x)$ biết $f' (x) = \frac{\cos x}{{(2 + s inx)}^{2}} .$

A. $f (x) = \frac{\sin x}{{(2 + s inx)}^{2}} + C$

B. $f (x) = \frac{1}{2 + \cos x} + C$

C. $f (x) = \frac{\sin x}{2 + \sin x} + C$

D. $f (x) = - \frac{1}{2 + \sin x} + C$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\int \frac{\cos d x}{{(2 + \sin x)}^{2}} = \int \frac{d (s inx)}{{(2 + s inx)}^{2}} = \frac{- 1}{2 + s inx} + C$

Câu 12:

17/06/2026

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 2} (C) .$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của $(C)$ với trục Ox là

A. $y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}$

B. $y = 3 x - 3$

C. $y = 3 x$

D. $y = x - 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm là: $\frac{x - 1}{x + 2} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow (C) \cap O x = A (1; 0)$

Ta có: $y' = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} \Rightarrow y' (1) = \frac{1}{3} \Rightarrow$ phương trình tiếp tuyến tại A là: $y = \frac{1}{3} (x - 1) + 0$ hay $y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} .$

Câu 13:

17/06/2026

Hàm số nào sau đây không có đạo hàm trên $ℝ$ ?

A. $y = \sqrt{x^{2} - 4 x + 5}$

B. $y = s inx$

C. $y = |x - 1|$

D. $y = \sqrt{2 - \cos x}$

Xem đáp án

Đáp án C

Xét hàm số $y = |x - 1| .$ Ta có: $\lim_{Δ x \to 0} \frac{y (1 + Δ x) - y (1)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{|Δ x| - 0}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{|Δ x|}{Δ x}$ không tồn tại nên hàm số $y = |x - 1|$ không có đạo hàm tại x = 1

Câu 14:

17/06/2026

Hàm số nào sau đây đạt cực trị tại điểm x = 0

A. $y = x^{3}$

B. $y = \frac{x^{2} - 2}{x}$

C. $y = x^{4} - 1$

D. $y = \sqrt{x}$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số $y = x^{3} \Rightarrow y = 3 x^{2} \geq 0 (\forall x)$

Hàm số $y = \frac{x^{2} - 2}{x}$ có $y' = 1 + \frac{2}{x^{2}} > 0 (\forall x \neq 0)$

Hàm số $y = \sqrt{x}$ có $y' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} > 0 (\forall x > 0)$ do đó các hàm số trên không đạt cực trị tại x = 0

Hàm số $y = x^{4} - 1 \Rightarrow y' = 4 x^{3}$ suy ra y’ đổi dấu khi qua điểm $x = 0$ nên hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0

Câu 15:

17/06/2026

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ trên đoạn $[- 2; 1]$ . Tính giá trị của $T = M + m$

A. $T = - 20$

B. $T = 2$

C. $T = - 24$

D. $T = - 4$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 (l o a i) \end{array} .$ Hàm số đã cho liên tục và xác định trên $[- 2; 1]$

Lại có $y (- 2) = - 20; y (0) = 0; y (1) = - 2.$ Do đó $T = 0 - 20 = - 20$

Câu 16:

17/06/2026

Cho các số phức $z_{1} = 1 + 2 i, z_{2} = 3 - i$ . Tìm số phức liên hợp của số phức $w = z_{1} + z_{2}$

A. $\bar{w} = - 4 + i$

B. $\bar{w} = 4 + i$

C. $\bar{w} = - 4 - i$

D. $\bar{w} = 4 - i$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $w = z_{1} + z_{2} = 4 + i \Rightarrow \bar{w} = 4 - i$

Câu 17:

17/06/2026

Cho đồ thị hàm số $y = {(\frac{1}{x})}^{π} .$ Mệnh đê nào sau đây sai?

A. Đồ thị hàm số đi qua điểm $A (1; 1)$

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận

C. Hàm số không có cực trị

D. Tập xác định của hàm số là $ℝ \ \{0\}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $D = (0; + \infty); y' = (π - 1) {(\frac{1}{x})}^{π - 1} . \frac{- 1}{x^{2}} < 0 (\forall x > 0); \lim_{x \to + \infty} y = 0$

Do đó hàm số khôn có cực trị và đồ thị hàm số có tiệm cận.

Câu 18:

17/06/2026

Tìm giới hạn $L = \lim_{x \to + \infty} (x + 1 - \sqrt{x^{2} - x + 2}) .$

A. $L = \frac{3}{2}$

B. $L = \frac{1}{2}$

C. $L = \frac{17}{11}$

D. $L = \frac{46}{31}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $L = \lim_{x \to + \infty} (x + 1 - \sqrt{x^{2} - x + 2}) = \lim_{x \to + \infty} \frac{3 x - 1}{x + 1 + \sqrt{x^{2} - x + 2}} = \frac{3}{2} .$

Câu 19:

17/06/2026

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $\log_{2} (1 - 2 x) \leq 3.$

A. $S = [- \frac{5}{2}; \frac{1}{2}]$

B. $S = [- \frac{7}{2}; + \infty)$

C. $S = [- \frac{7}{2}; \frac{1}{2})$

D. $S = (- \frac{7}{2}; \frac{1}{2})$

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện: $x < \frac{1}{2} .$ Bất phương trình tương đương

$1 - 2 x \leq 8 \Leftrightarrow x \geq - \frac{7}{2} \Rightarrow S = [- \frac{7}{2}; \frac{1}{2}) .$

Câu 20:

17/06/2026

Tìm số phức z thỏa mãn $(1 - 2 i) z = 3 + i .$

A. $z = 1 - i$

B. $z = 1 + i$

C. $z = \frac{1}{5} + \frac{7}{5} i$

D. $z = \frac{1}{5} - \frac{7}{5} i$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$(1 - 2 i) z = 3 + i \Leftrightarrow z = \frac{3 + i}{1 - 2 i} = \frac{(3 + i) (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)} = \frac{1 + 7 i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{7}{5} i .$

Câu 21:

17/06/2026

Biết rằng $\log_{42} 2 = 1 + m \log_{42} 3 + n \log_{42} 7$ với m, n là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $m . n = 2$

B. $m . n = 1$

C. $m . n = - 1$

D. $m . n = - 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\log_{42} 2 = 1 + m \log_{42} 3 + n \log_{42} 7 \Leftrightarrow \log_{42} 2 = \log_{42} ({42.3}^{m} {.7}^{n})$

$\Leftrightarrow {42.3}^{m} {.7}^{n} = 2 \Leftrightarrow {2.3}^{m + 1} {.7}^{n + 1} = 2 \Leftrightarrow 3^{m + 1} {.7}^{n + 1} = 1 \Leftrightarrow m = - 1, n = - 1 \Rightarrow m n = 1.$

Câu 22:

17/06/2026

Hệ số của $x^{4} y^{2}$ trong khai triển Niu tơn của biểu thức ${(x + y)}^{6}$ là

A. 20

B. 15

C. 25

D. 30

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $T_{k + 1} = C_{6}^{k} x^{6 - k} y^{k} \Rightarrow k = 2 \Rightarrow$ hệ số $C_{6}^{2} = 15.$

Câu 23:

17/06/2026

Lăng trụ tam giác đều $A B C . A' B' C'$ có góc giữa hai mặt phẳng $(A' B C)$ và $(A B C)$ bằng $60 °$ , cạnh $A B = a .$ Thể tích khối đa diện $A B C C' B'$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{3 a^{3}}{4}$

D. $\sqrt{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Kẻ $A P ⊥ B C \tan 60^{\circ} = \frac{A' A}{A P}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A' A = A P \sqrt{3} = \sqrt{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3 a}{2} \\ \Rightarrow V_{A B C C' B'} = 2 V_{B' . A B C} = 2. \frac{1}{3} B B' . S_{A B C} \\ = \frac{2}{3} . \frac{3 a}{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} \end{array}$

Câu 24:

17/06/2026

Xét các mệnh đề sau

$\begin{array}{l} (1) . \int \frac{1}{1 - 2 x} d x = - \frac{1}{2} \ln |4 x - 2| \\ (2) . \int 2 x \ln (x + 2) d x = (x^{3} - 4) \ln (x + 2) - \int (x - 2) d x \\ (3) . \int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \frac{\cot 2 x}{2} + C \end{array}$

Số mệnh đề đúng là

A. 2

B. 0

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có ngay (1) sai vì thiếu C.

Kí hiệu vế phải của (2) là

$f (x) \Rightarrow f' (x) = 3 x^{2} \ln (x + 2) + \frac{x^{3} - 4}{x + 2} - (x - 2) \Rightarrow B$ sai.

Lại có

$\int \frac{1}{\sin^{2} 2 x} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^{2} 2 x} d (2 x) = - \frac{1}{2} \cot 2 x + C \Rightarrow (3)$ đúng.

Câu 25:

17/06/2026

Tìm điều kiện của a, b để hàm số bậc bốn $f (x) = a x^{4} + b x^{2} + 1$ có đúng một điểm cực trị và điểm cực trị đó là cực tiểu?

A. $a < 0, b \leq 0$

B. $a > 0, b \geq 0$

C. $a > 0, b < 0$

D. $a < 0, b > 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Để hàm số bậc bốn có đúng một điểm cực trị và điểm cực trị đó là cực tiểu

$\{\begin{cases} a b \geq 0 \\ a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ b \geq 0 \end{cases} .$

Câu 26:

17/06/2026

Cắt một khối trụ T bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta được một hình vuông có diện tích bằng 9. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Khối trụ T có thể tích $V = \frac{9 π}{4}$

B. Khối trụ T có diện tích toàn phần
$S_{t p} = \frac{27 π}{2}$

C. Khối trụ T có diện tích xung quanh $S_{x q} = 9 π$

D. Khối trụ T có độ dài đường sinh là l = 3

Xem đáp án

Đáp án A

Hình vuông đi qua trục có diện tích bằng $9 \Rightarrow$ Bán kính $R = \frac{3}{2};$ đường sinh $l = 3$

Vậy thể tích khối trụ là $V = π R^{2} h = π . {(\frac{3}{2})}^{2} .3 = \frac{27 π}{4};$ diện tích xung quanh $S_{x q} = 2 π R l = 9 π$

Và diện tích toàn phần của khối trụ là $S_{t p} = 2 π R^{2} + 2 π R l = 2 π . {(\frac{3}{2})}^{2} + 9 π = \frac{27 π}{2} .$

Câu 27:

17/06/2026

Hàm số $y = \{\begin{cases} x^{2} - 2 x k h i x \geq 0 \\ 2 x k h i - 1 \leq x < 0 \\ - 3 x - 5 k h i x < - 1 \end{cases} .$

A. Không có cực trị

B. Có một điểm cực trị

C. Có hai điểm cực trị

D. Có ba điểm cực trị

Xem đáp án

Đáp án B

Trên khoảng $[0; + \infty)$ , ta có $y' = 2 x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow$ Hàm số có 1 điểm cực trị.

Trên khoảng $[1; 0)$ , ta có $y' = 2 > 0; \forall x \in [- 1; 0) \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $[- 1; 0)$ .

Trên khoảng $(- \infty; - 1)$ , ta có $y' = - 3 < 0; \forall x \in (- \infty; - 1) \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1)$ .

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực trị.

Câu 28:

17/06/2026

Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh. Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1 quả cầu. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.

A. $\frac{9}{20}$

B. $\frac{7}{20}$

C. $\frac{17}{20}$

D. $\frac{7}{17}$

Xem đáp án

Đáp án B

Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 quả cầu có $C_{12}^{1} . C_{10}^{1} = 120$ cách.

Số cách để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ là $C_{7}^{1} . C_{6}^{1} = 42$ cách.

Vậy xác suất cần tính là $P = \frac{42}{120} = \frac{7}{20} .$

Câu 29:

17/06/2026

Với giá trị nào của m thì đường thẳng $y = 2 x + m$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x - 1} ?$

A. $m \neq 2 \sqrt{2}$

B. $m = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

C. $m \neq \pm 2$

D. $m = \pm 2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Để đồ thị (C) tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi $\{\begin{cases} \frac{2 x - 3}{x - 1} - 2 x + m \\ {(\frac{2 x - 3}{x - 1})}^{'} = (2 x + m)' \end{cases}$ có nghiệm

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 \neq 0 \\ 2 x - 3 = (x - 1) (2 x + m) \\ 2 {(x - 1)}^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ m = \frac{2 x - 3}{x - 1} - 2 x \end{cases} \Rightarrow m = \pm 2 \sqrt{2}$

Câu 30:

17/06/2026

Phương trình $2^{\sin^{2} x} + 2^{1 + c {os}^{2} x} = m$ có nghiệm khi và chỉ khi:

A. $4 \leq m \leq 3 \sqrt{2}$

B. $3 \sqrt{2} \leq m \leq 5$

C. $0 < m \leq 5$

D. $4 \leq m \leq 5$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $2^{\sin^{2} x} + 2^{1 + c {os}^{2} x} = m \Leftrightarrow 2^{\sin^{2} x} + 2^{2 - \sin^{2} x} = m \Leftrightarrow 2^{\sin^{2} x} + \frac{4}{2^{\sin^{2} x}} = m (*) .$

Đặt $t = 2^{\sin^{2} x}$ mà $\sin^{2} x \in [0; 1]$ suy ra $t \in [1; 2],$ khi đó $(*) \Leftrightarrow m = f (t) = t + \frac{4}{t} .$

Xét hàm số $f (t) = t + \frac{4}{t}$ trên đoạn $[1; 2],$ có $f' (t) = 1 - \frac{4}{t^{2}} \leq 0; \forall t \in [1; 2]$

$\Rightarrow f (t)$ là hàm số nghịch biến trên $[1; 2]$ nên (*) có nghiệm $\Leftrightarrow \min_{[1; 2]} f (t) \leq m \leq \underset{[1; 2]}{m ax} f (t)$

Vậy $4 \leq m \leq 5$ là giá trị cần tìm.

Câu 31:

17/06/2026

Biết rằng $\int_{1}^{2} \ln (x + 1) d x = a \ln 3 + b \ln 2 + c$ với a, b, c là các số nguyên. Tính $S = a + b + c$

A. S = 0

B. S = 1

C. S = 2

D. S = -2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$\int_{1}^{2} \ln (x + 1) d x = \int_{1}^{2} \ln (x + 1) d (x + 1) = {(x + 1) \ln (x + 1)|}_{1}^{2} - \int_{1}^{2} (x + 1) d (\ln (x + 1)) = 3 \ln 3 - 2 \ln 2 - \int_{1}^{2} d x = 3 \ln 3 - 2 \ln 2 - 1 \Rightarrow a = 3; b = - 2; c = - 1 \Rightarrow a + b + c = 0.$

Câu 32:

17/06/2026

Tìm a, b để các cực trị của hàm số $y = a x^{3} + (a - 1) x^{2} - 3 x + b$ đều là những số dương và $x_{0} = - 1$ là điểm cực đại.

A. $\{\begin{cases} a = 1 \\ b > 1 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} a = 1 \\ b > 2 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} a = 1 \\ b > - 2 \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} a = 1 \\ b > - 3 \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = 3 a x^{2} + 2 (a - 1) x - 3$ và $y'' = 6 a x + 2 a - 2; \forall x \in ℝ .$

Điểm $x_{0} = - 1$ là điểm cực đại của hàm số $\Leftrightarrow \{\begin{cases} y' (- 1) = 0 \\ y'' (- 1) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a - 2 (a - 1) - 3 = 0 \\ - 6 a + 2 a - 2 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow a = 1.$

Khi đó, hàm số đã cho trở thành $y = x^{3} - 3 x + b .$ Ta có $y' = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Yêu cầu bài toán trở thành $y (\pm 1) > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} b - 2 > 0 \\ b + 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow b > 2.$

Vậy $\{\begin{cases} a = 1 \\ b > 2 \end{cases} .$

Câu 33:

17/06/2026

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và F(x) là nguyên hàm của f(x), biết $\int_{0}^{9} f (x) d x = 9$ và F(0) = 3.Tính F(9)

A. $F (9) = - 6$

B. $F (9) = 6$

C. $F (9) = 12$

D. $F (9) = - 12$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$9 = \int_{0}^{9} f (x) d x = F (x)| {}_{0}^{9}= F (9) = F (0) \Rightarrow F (9) = F (0) + 9 = 12.$

Câu 34:

17/06/2026

Biết rằng phương trình $3 \log_{2}^{2} x - \log_{2} x - 1 = 0$ có hai nghiệm là a, b. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $a + b - \frac{1}{3}$

B. $a b = - \frac{1}{3}$

C. $a b = \sqrt[3]{2}$

D. $a + b = \sqrt[3]{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

$3 \log_{2}^{2} x - \log_{2} x - 1 = 0 \to \log_{2} a + \log_{2} b = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \log_{2} (a b) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow a b = \sqrt[3]{2} .$

Câu 35:

17/06/2026

Tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y = \frac{2017 + \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x^{2} - m x - 3 m}}$ có hai đường tiệm cận đứng là:

A. $[\frac{1}{4}; \frac{1}{2}]$

B. $(0; \frac{1}{2}]$

C. $(0; + \infty)$

D. $(- \infty; - 12) \cup (0; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án B

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng $\Leftrightarrow x^{2} - m x - 3 m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2} \geq - 1.$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ > 0 \\ x_{1} + x_{2} \geq - 2 \\ (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = {(- m)}^{2} - 4 (- 3 m) > 0 \\ x_{1} + x_{2} \geq - 2 \\ x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} + 12 m > 0 \\ m \geq - 2 \\ 1 - 2 m \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \in (0; \frac{1}{2}] .$

Câu 36:

17/06/2026

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x k h i x \geq 1 \\ 1 k h i x < 1 \end{cases} .$ Tính tích phân $\int_{0}^{2} f (x) d x$

A. $\int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{5}{2}$

B. $\int_{0}^{2} f (x) d x = 2$

C. $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4$

D. $\int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét tích phân $I = \int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x .$

Với $x \geq 1$ , ta có $f (x) = x$ suy ra $\int_{1}^{2} f (x) = \int_{1}^{2} x d x = {\frac{x^{2}}{2}|}_{1}^{2} = \frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2} = \frac{3}{2} .$

Với $x < 1$ , ta có $f (x) = 1$ suy ra $\int_{0}^{1} f (x) = \int_{0}^{1} d x = 1.$

Vậy $I = \int_{0}^{2} f (x) d x = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} .$

Câu 37:

17/06/2026

Cho đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{2 x + 2}{x - 1} .$ Tọa độ điểm M nằm trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất là

A. $[\begin{array}{l} M (- 1; 0) \\ M (3; 4) \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} M (- 1; 0) \\ M (0; - 2) \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} M (2; 6) \\ M (3; 4) \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} M (0; - 2) \\ M (2; 6) \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án A

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 2}{x - 1} (C)$ có hai đường tiệm cận là $x = 1 (d_{1}); y = 2 (d_{2}) .$

Gọi $M \in (C) \Rightarrow M (m; \frac{2 m + 2}{m - 1}) \to \{\begin{cases} d (M; (d_{1})) = |m - 1| \\ d (M; (d_{2})) = |\frac{2 m + 2}{m - 1} - 2| = \frac{4}{|m - 1|} \end{cases}$

Khi đó $d (M; (d_{1})) + d (M; (d_{2})) = |m - 1| + \frac{4}{|m - 1|} \geq 2 \sqrt{|m - 1| . \frac{4}{|m - 1|}} = 4$ .

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow |m - 1| = \frac{4}{|m - 1|} \Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 3 \\ m = - 1 \end{array} .$

Vậy $[\begin{array}{l} M (3; 4) \\ M (- 1; 0) \end{array} .$

Câu 38:

17/06/2026

Cho lục giác đều ABCDEF có cạnh bằng 4. Cho lục giác đều đó quay quanh đường thẳng AD. Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra.

A. $V = 128 π$

B. $V = 32 π$

C. $V = 16 π$

D. $V = 64 π$

Xem đáp án

Đáp án D

Khi quay lục giác đã cho quanh AD ta được 2 hình nón và một hình trụ

Hình trụ có chiều cao $h = B C = 4$ và bán kính đáy $r = B H = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$

Hình nón có chiều cao $h' = A H = 2$ và bán kính đáy $r = B H = 2 \sqrt{3}$

Khi đó $V = π r^{2} h + \frac{2}{3} π r^{2} h' = 64 π .$

Câu 39:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $f (x) = {(\frac{1}{π})}^{x^{3} - 3 m x^{2} + m}$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$

A. $m \in (0; + \infty)$

B. $m = 0$

C. $m \neq 0$

D. $m \in ℝ$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $f (x) = {(\frac{1}{π})}^{x^{3} - 3 m x^{2} + m},$ ta có $f' (x) = (3 x^{2} - 6 m x) . {(\frac{1}{π})}^{x^{3} - 3 m x^{2} + m} . \ln \frac{1}{π} .$

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

$(- \infty; + \infty) \Leftrightarrow f' (x) \leq 0; \forall x \in ℝ \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 m x \geq 0; \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow x (x - 2 m) \geq 0; \forall x \in ℝ \Rightarrow m = 0$ là giá trị cần tìm.

Câu 40:

17/06/2026

Bất phương trình $\ln (2 x^{2} + 3) > \ln (x^{2} + a x + 1)$ nghiệm đúng với mọi số thực x khi:

A. $- 2 \sqrt{2} < a < 2 \sqrt{2}$

B. $0 < a < 2 \sqrt{2}$

C. $0 < a < 2$

D. $- 2 < a < 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$\ln (2 x^{2} + 3) > \ln (x^{2} + a x + 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + a x + 1 > 0 \\ 2 x^{2} + 3 > x^{2} + a x + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + a x + 1 > 0 (1) \\ x^{2} - a x + 2 > 0 (2) \end{cases} .$

Giải (1), ta có $x^{2} + a x + 1 > 0; \forall x \in ℝ \Leftrightarrow Δ = a^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < a < 2.$

Giải (2), ta có $x^{2} - a x + 2 > 0; \forall x \in ℝ \Leftrightarrow Δ = {(- a)}^{2} - 8 < 0 \Leftrightarrow - 2 \sqrt{2} < a < a \sqrt{2} .$

Vậy $a \in (- 2; 2)$ là giá trị cần tìm.

Câu 41:

17/06/2026

Cho khối chóp $S . A B C D$ có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M' , N', P', Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng $(A B C D) .$ Tính tỉ số $\frac{S M}{S A}$ để thể tích khối đa diện $M N P Q . M' N' P' Q'$ đạt giá trị lớn nhất.

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $\frac{S M}{S A} = x$ , vì mặt phẳng $(M N P Q)$ song song với đáy

Suy ra $\frac{M N}{A B} = \frac{N P}{B C} = \frac{P Q}{C D} = \frac{M Q}{A D} = x$ ( định lí Thalet).

Và $\frac{d (M; (A B C D))}{d (S; (A B C D))} = \frac{M A}{S A} = 1 - \frac{S M}{S A} = 1 - x \Rightarrow M M' = (1 - x) \times h .$

Mặt khác $d t (M N P Q) = x^{2} \times d t (A B C D)$ nên thể tích khối đa diện

$M N P Q . M' N' P' Q'$ là $V = M M' x d t (M N P Q)$

$= (1 - x) x^{2} \times h \times d t (A B C D) = 3 (x^{2} - x^{3}) \times V_{S . A B C D} .$

Khảo sát hàm số $f (x) = x^{2} - x^{3} \to \underset{(0; 1)}{m ax} f (x) = \frac{4}{27} .$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{2}{3} .$

Vậy $\frac{S M}{S A} = \frac{2}{3}$ thì thể tích khối hộp $M N P Q . M' N' P' Q'$ lớn nhất.

Câu 42:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá tri thực của tham số m để bất phương trình $2^{3 x} + (m - 1) 3^{x} + m - 1 > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in ℝ$

A. $m \in ℝ$

B. $m > 1$

C. $m \leq 1$

D. $m \geq 1$

Xem đáp án

Đáp án D

$B P T \Leftrightarrow 2^{3 x} + (m - 1) 3^{x} + m - 1 > 0 \Leftrightarrow 2^{3 x} - 3^{x} - 1 + m (3^{x} + 1) > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3^{x} - 8^{x} + 1}{3^{x} + 1}; \forall x \in ℝ (*) .$

Xét hàm số $f (x) = \frac{3^{x} - 8^{x} + 1}{3^{x} + 1}; \forall x \in ℝ,$

ta có $f' (x) = \frac{8^{x} [(\ln 3 - \ln 8] {.3}^{x} - \ln 8}{{(3^{x} + 1)}^{2}} < 0; \forall x \in ℝ .$

Suy ra $f (x)$ là hàm số nghịch biến trên $ℝ$ mà $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 1,$ do đó $\min_{x \in ℝ} f (x) = \lim_{x \to - \infty} f (x) = 1$

Vậy $(*) \Leftrightarrow m \geq \min_{x \in ℝ} f (x) = 1 \Rightarrow m \geq 1$ là giá trị cần tìm.

Câu 43:

17/06/2026

Tìm môđun của số phức z biết $z - 4 = (1 + i) |z| - (4 + 3 z) i .$

A. $|z| = 4$

B. $|z| = 1$

C. $|z| = \frac{1}{2}$

D. $|z| = 2$

Xem đáp án

Đáp án D

$P T \Leftrightarrow z (1 + 3 i) = (|z| + 4) + i (|z| - 4) \Leftrightarrow |1 + 3 i| |z| = \sqrt{{(|z| + 4)}^{2} + {(|z| - 4)}^{2}} \Leftrightarrow 10 {|z|}^{2} = {(|z| + 4)}^{2} + {(|z| - 4)}^{2} \Leftrightarrow {|z|}^{2} = 4 \Leftrightarrow |z| = 2.$

Câu 44:

17/06/2026

Hình chóp $S . A B C$ có đáy ABC là tam giác vuông tại $A, A B = a, A C = 2 a$ . Mặt bên $(S A B), (S C A)$ lần lượt là các tam giác vuông tại B, C. Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng $\frac{2}{3} a^{3} .$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S . A B C$ là

A. $R = a \sqrt{2}$

B. $R = a$

C. $R = \frac{3 a}{2}$

D. $R = \frac{\sqrt{3} a}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Kẻ hinh chữ nhật $A B C D$ như hình vẽ bên $\Rightarrow S D ⊥ (A B C D)$

Diện tích tam giác ABC là $S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . A C = a^{2}$

Suy ra $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S D . S_{Δ A B C} = \frac{a^{2}}{3} . S D = \frac{2}{3} a^{3} \Rightarrow S D = 2 a .$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S . A B D C$ là

$R = \sqrt{R_{A B D C}^{2} + \frac{S D^{2}}{4}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2} + \frac{{(2 a)}^{2}}{4}} = \frac{3 a}{2}$

Vậy bán kính mặt cầu cần tính là $R = \frac{3 a}{2} .$

Câu 45:

17/06/2026

Cho $x, y > 0$ thỏa mãn $\log (x + 2 y) = \log x + \log y .$ Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2}}{1 + 2 y} + \frac{4 y^{2}}{1 + x}$ là:

A. 6

B. $\frac{32}{5}$

C. $\frac{31}{5}$

D. $\frac{29}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$\log (x + 2 y) = \log x + \log y \Leftrightarrow \log 2 (x + 2 y) = \log 2 x y \Leftrightarrow 2 (x + 2 y) = 2 x y (*) .$

Đặt $\{\begin{cases} a = x > 0 \\ b = 2 y > 0 \end{cases},$ khi đó $(*) \Leftrightarrow 2 (a + b) = a b$ và $P = \frac{a^{2}}{1 + b} + \frac{b^{2}}{1 + a} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{a + b + 2} .$

Lại có $a b \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \Rightarrow 2 (a + b) \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \Leftrightarrow a + b \geq 8.$

Đặt $t = a + b,$ do đó $P \geq f (t) = \frac{t^{2}}{t + 2}$

Xét hàm số $f (t) = \frac{t^{2}}{t + 2}$ trên $[8; + \infty),$ có $f' (t) = \frac{t^{2} + 2 t}{{(t + 2)}^{2}} > 0; \forall t \geq 8$

Suy ra $f (t)$ là hàm số đồng biến trên $[8; + \infty) \to \min_{[8; + \infty)} f (t) = f (8) = \frac{32}{5} .$

Vậy gía trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\frac{32}{5} .$

Câu 46:

17/06/2026

Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng có bán kính là r, trong đó ba mặt tiếp xúc với đáy, tiếp xúc lẫn nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba mặt cầu kia và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Tính chiều cao của hình nón.

A. $r (1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

B. $r (2 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3})$

C. $r (1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3})$

D. $r (1 + \sqrt{6} + \frac{2 \sqrt{6}}{3})$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi S, A, B, C lần lượt là tâm của các mặt cầu thứ tư và ba mặt cầu tiếp xúc đáy (như hình vẽ)

Khi đó S.ABC là khối tứ diện đều cạnh 2r.

Goi I là tâm của tam giác $A B C \Rightarrow S i ⊥ (A B C) .$

Tam giác ABC đều cạnh $2 r \Rightarrow A I = \frac{2 r}{\sqrt{3}} .$

Tam giác SAI vuông tại I, có $S I = \sqrt{S A^{2} - I A^{2}} = \sqrt{4 r^{2} - {(\frac{2 r}{\sqrt{3}})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} r .$

Ta thấy rằng $Δ S M H ~ A S I (g . g)$ suy ra

$\frac{S M}{S A} = \frac{S H}{A I} \Rightarrow S M = \frac{S A . A H}{A N} = \frac{2 r . r}{\frac{2 r}{\sqrt{3}}} = r \sqrt{3} .$

Vậy chiều cao của khối nón là $h = S M + S I + I D = r \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3} r + r = r (1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}) .$

Câu 47:

17/06/2026

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c .$ Nếu phương trình $f (x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt thì phương trình $2 f (x) . f'' (x) = {(f' (x))}^{2}$ có bao nhiêu nghiệm.

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Cho $a = 0, b = - 3, c = 0 \Rightarrow f (x) = x^{3} - 3 x^{2} = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có:

$\{\begin{cases} f' (x) = 3 x^{2} - 6 x \\ f'' (x) = 6 x - 6 \end{cases} \Rightarrow 2 (x^{3} - 3 x^{2}) (6 x - 6) = {(3 x^{2} - 6 x)}^{2} \Leftrightarrow 12 x^{2} (x - 3) (x - 1) = 9 x^{2} {(x - 2)}^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 4 (x^{2} - 4 x + 3) = 3 (x^{2} - 4 x + 4) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array}$

Câu 48:

17/06/2026

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng $(A M N)$ luôn vuông góc với mặt phẳng $(B C D) .$ Gọi $V_{1}; V_{2}$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN. Tính $V_{1} + V_{2} ?$

A. $\frac{17 \sqrt{2}}{216}$

B. $\frac{17 \sqrt{2}}{72}$

C. $\frac{17 \sqrt{2}}{144}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi O là tâm của tam giác $B C D \Rightarrow O A ⊥ (B C D)$

Mà $(A M N) ⊥ (B C D)$ suy ra MN luôn đi qua điểm O.

Đặt $B M = x, B N = y \Rightarrow S_{Δ B M N} = \frac{1}{2} . B M . B N . \sin \hat{M B N} = \frac{\sqrt{3}}{4} x y .$

Tam giác ABO vuông tại O

Suy ra thể tích tứ diện ABMN là $V = \frac{1}{3} . O A . S_{Δ B M N} = \frac{\sqrt{2}}{12} x y .$

Mà MN đi qua trọng tâm của $Δ B C D \Rightarrow 3 x y = x + y .$

Do đó:

$x y \leq \frac{{(x + y)}^{2}}{4} = \frac{9 {(x y)}^{2}}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \geq x y \geq \frac{4}{9} \to V_{1} = \frac{\sqrt{2}}{24}; V_{2} = \frac{\sqrt{2}}{27} .$

Vậy $V_{1} + V_{2} = \frac{17 \sqrt{2}}{216} .$

Câu 49:

17/06/2026

Đề thi kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên

A. $\frac{436}{4^{10}}$

B. $\frac{463}{4^{10}}$

C. $\frac{436}{10^{4}}$

D. $\frac{463}{10^{4}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Với mỗi câu hỏi, thí sinh có 4 phương án lựa chọn nên số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = 4^{10} .$

Gọi X là biến cố “thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên”

TH1. Thí sinh đó làm được 8 câu ( tức là 8,0 điểm): Chọn 8 câu trong số 10 câu hỏi và 2 câu còn lại mỗi câu có 3 cách lựa chọn đáp án sai nên có $C_{10}^{8} {.3}^{2}$ cách để thí sinh đúng 8 câu.

TH2. Thí sinh đó làm được 9 câu (tức là 9,0 điểm): Chọn 9 câu trong số 10 câu hỏi và câu còn lại có 3 cách lựa chọn đáp án sai nên có $C_{10}^{9} {.3}^{1}$ cách để thí sinh đúng 9 câu.

TH3. Thí sinh đó làm được 10 câu (tức là 10,0 điểm): Chỉ có 1 cách duy nhất.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là $n (X) = C_{10}^{8} {.3}^{2} + C_{10}^{9} {.3}^{1} + 1 = 436.$

Vậy xác suất cần tìm là $P = \frac{n (X)}{n (Ω)} = \frac{436}{4^{10}} .$

Câu 50:

17/06/2026

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x .$ Đặt $f^{k} (x) = f (f^{k - 1} (x))$ (với k là số tự nhiên lớn hơn 1). Tính số nghiệm của phương trình $f^{6} (x) = 0$

A. 729

B. 365

C. 730

D. 364

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $f (x) = x {(x - 3)}^{2}; f (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array} .$

Gọi $a_{k}$ là số nghiệm của phương trình $f^{k} (x) = 0$ và $b^{k}$ là số nghiệm của phương trình $f^{k} (x) = 3.$

Khi đó $\{\begin{cases} a^{k} = a_{k - 1} + b_{k - 1} \\ b_{k} = 3^{k} \end{cases} (k \in ℕ^{*}, k \geq 2)$

suy ra $a_{n} = a_{n - 1} + 3^{n - 1} \to a_{n} = a_{1} + \frac{3^{n} - 3}{2} (*) .$

Mà $a_{1} = 2$ nên suy ra $(*) \Leftrightarrow a_{n} = 2 + \frac{3^{n} - 3}{2} = \frac{3^{n} + 1}{2} .$

Với $n = 6 \Rightarrow f^{6} (x) = 0$ có $\frac{3^{6} + 1}{2} = 365$ nghiệm.

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3