Đáp án D

Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB = AC; $\widehat{BAO}=\widehat{CAO}$;  $\widehat{BOA}=\widehat{COA}$

Xét $∆$ABO vuông tại B có OB = 3cm; OA = 5cm, theo định lý Pytago ta có

$AB =\sqrt{O{A}^2-O{B}^2}=\sqrt{5^2-3^2}= 4cm$

Nên AC = AB = 4cm hay đáp án A đúng.

Xét tam giác ABO vuông tại B có $\sin \widehat{ABO}=\frac{AB}{OA}=\frac{4}{5}$ nên C đúng. Mà $\widehat{BOA}=\widehat{COA}$ nên $\sin \widehat{COA}=\frac{4}{5}$ do đó D sai

Đáp án D

Gọi H là giao của BC với AO

Xét (O) có hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A nên AB = AC (tính chất)

Lại có OB = OC nên AO là đường trung trực của đoạn BC hay AO $\perp$ BC tại H là trung điểm của BC

Xét tam giác BCD có H là trung điểm BC và O là trung điểm DC nên là đường trung bình của tam giác BCD

Suy ra BD = 2.OH

Xét tam giác ABO vuông tại B có BH là đường cao. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: $B{O}^2 = OH. OA\iff OH =\frac{O{B}^2}{OA}=\frac{9}{5}= 1,8cm$

Từ đó BD = 2. OH = 2. 1,8 = 3,6cm

Đáp án B

Xét nửa (O) có MC và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên OC là phân giác $\widehat{MOA}$ do đó $\widehat{AOC}=\widehat{COM}$

Lại có MD và BD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D nên OD là phân giác $\widehat{MOB}$ do đó $\widehat{DOB}=\widehat{DOM}$

Từ đó:

$$\begin{gathered} \widehat{AOC}+\widehat{BOD}=\widehat{COM}+\widehat{MOD} \\ =\frac{\widehat{AOC}+\widehat{BOD}+\widehat{COM}+\widehat{MOD}}{2} \\ =\frac{{180}^o}{2}={90}^o \end{gathered}$$

Nên $\widehat{COD} = {90}^o$ hay $∆$COD vuông tại O có OM là đường cao nên $MC. MD = O{M}^2$

Đáp án B

Gọi H là giao của OA và CD

Xét (O) có OA $\perp$ CD tại H nên H là trung điểm của CD

Xét tam giác OCAD có hai đường chéo OA và CD vuông góc với nhau và giao nhau tại trung điểm H mỗi đường nên OCAD là hình thoi