Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài 24 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:

a)$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{5}\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\end{array}\right.$

b)$\left\{\begin{array}{l}\frac{15}{x}-\frac{7}{y}=9\\ \frac{4}{x}+\frac{9}{y}=35\end{array}\right.$

c)$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}=\frac{5}{8}\\ \frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}=\frac{-3}{8}\end{array}\right.$

d)$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{2x-3y}+\frac{5}{3x+y}=-2\\ \frac{3}{3x+y}-\frac{5}{2x-3y}=21\end{array}\right.$

e)$\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{x-y+2}-\frac{5}{x+y-1}=4,5\\ \frac{3}{x-y+2}+\frac{2}{x+y-1}=4\end{array}\right.$

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{5}\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\end{array}\right.$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=a\\ \frac{1}{y}=b\end{array}\right.$(điều kiện $x\ne 0;y\ne 0)$ khi đó phương trình trở thành

$\left\{\begin{array}{l}a+b=\frac{4}{5}\\ a-b=\frac{1}{5}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a+b=\frac{4}{5}\\ a=b+\frac{1}{5}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b+\frac{1}{5}+b=\frac{4}{5}\\ a=b+\frac{1}{5}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2b=\frac{3}{5}\\ a=b+\frac{1}{5}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{10}\\ a=\frac{3}{10}+\frac{1}{5}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=\frac{3}{10}\end{array}\right.$

Khi đó ta được: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{y}=\frac{3}{10}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{10}{3}\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) = $\left(2;\frac{10}{3}\right)$.

 b) $\left\{\begin{array}{l}\frac{15}{x}-\frac{7}{y}=9\\ \frac{4}{x}+\frac{9}{y}=35\end{array}\right.$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=a\\ \frac{1}{y}=b\end{array}\right.$(điều kiện $x\ne 0;y\ne 0)$ khi đó phương trình trở thành

$\left\{\begin{array}{l}15a-7b=9\\ 4a+9b=35\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{15a-9}{7}\\ 4a+9b=35\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{15a-9}{7}\\ 4a+9.\frac{15a-9}{7}=35\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{15a-9}{7}\\ 4a+9.\frac{15a-9}{7}=35\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{15a-9}{7}\\ 4a+\frac{135}{7}a-\frac{81}{7}=35\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{15a-9}{7}\\ \frac{163}{7}a=\frac{326}{7}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\frac{15.2-9}{7}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\end{array}\right.$

Khi đó ta được: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=2\\ \frac{1}{y}=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{3}\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{3}\right)$

c) $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}=\frac{5}{8}\\ \frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}=\frac{-3}{8}\end{array}\right.$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+y}=a\\ \frac{1}{x-y}=b\end{array}\right.$( điều kiện $x\ne \pm y$)  khi đó phương trình trở thành

$\left\{\begin{array}{l}a+b=\frac{5}{8}\\ a-b=\frac{-3}{8}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a+b=\frac{5}{8}\\ a=b-\frac{3}{8}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b-\frac{3}{8}+b=\frac{5}{8}\\ a=b-\frac{3}{8}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2b=\frac{8}{8}\\ a=b-\frac{3}{8}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{1}{2}\\ a=\frac{1}{8}\end{array}\right.$. Khi đó ta được

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+y}=\frac{1}{8}\\ \frac{1}{x-y}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=8\\ x-y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=8\\ x=y+2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y+2+y=8\\ x=y+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2y=6\\ x=y+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y+2\\ y=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=3\end{array}\right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (5; 3)

d) $\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{2x-3y}+\frac{5}{3x+y}=-2\\ \frac{3}{3x+y}-\frac{5}{2x-3y}=21\end{array}\right.$. Đặt

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2x-3y}=a\\ \frac{1}{3x+y}=b\end{array}\right.$(điều kiện $2x-3y\ne 0;3x+y\ne 0)$. Khi đó phương trình trở thành:

$\left\{\begin{array}{l}4a+5b=-2\\ 3b-5a=21\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}4a+5b=-2\\ b=\frac{5a+21}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4a+5.\frac{5a+21}{3}=-2\\ b=\frac{5a+21}{3}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}37a+105=-6\\ b=\frac{5a+21}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}37a=-111\\ b=\frac{5a+21}{3}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=\frac{5a+21}{3}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=\frac{5.\left(-3\right)+21}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=2\end{array}\right.$.

Khi đó ta được: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2x-3y}=-3\\ \frac{1}{3x+y}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-3y=\frac{-1}{3}\\ 3x+y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-3y=\frac{-1}{3}\\ y=\frac{1}{2}-3x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-3\left(\frac{1}{2}-3x\right)=\frac{-1}{3}\\ y=\frac{1}{2}-3x\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x+9x=\frac{-1}{3}+\frac{3}{2}\\ y=\frac{1}{2}-3x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}11x=\frac{7}{6}\\ y=\frac{1}{2}-3x\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x+9x=\frac{-1}{3}+\frac{3}{2}\\ y=\frac{1}{2}-3x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}11x=\frac{7}{6}\\ y=\frac{1}{2}-3x\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{66}\\ y=\frac{1}{2}-3.\frac{7}{66}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{66}\\ y=\frac{2}{11}\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình $\left(x;y\right)=\left(\frac{7}{66};\frac{2}{11}\right)$.

e) $\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{x-y+2}-\frac{5}{x+y-1}=4,5\\ \frac{3}{x-y+2}+\frac{2}{x+y-1}=4\end{array}\right.$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-y+2}=a\\ \frac{1}{x+y-1}=b\end{array}\right.$ 

(điều kiện $x-y+2\ne 0;x+y-1\ne 0)$

Khi đó hệ phương trình trở thành:

$\left\{\begin{array}{l}7a-5b=4,5\\ b=\frac{4-3a}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7a-5.\frac{4-3a}{2}=4,5\\ b=\frac{4-3a}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}14a-20+15a=9\\ b=\frac{4-3a}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}29a=29\\ b=\frac{4-3a}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=\frac{4-3a}{2}\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=\frac{4-3.1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$khi đó ta được

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-y+2}=1\\ \frac{1}{x+y-1}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-y=2=1\\ x+y-1=2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ x+y=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y-1\\ x+y=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y-1\\ y-1+y=3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=y-1\\ 2y=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y-1\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2-1\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) = (1; 2).

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 16 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế...

Câu hỏi 17 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình...

Câu hỏi 18 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm giá trị của a và b...

Câu hỏi 19 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm giá trị của a và b để hai đường thẳng...

Câu hỏi 20 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm a và b để...

Câu hỏi 21 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm giá trị của m...

Câu hỏi 22 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng...

Câu hỏi 23 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình...

Bài tập bổ sung

Câu hỏi 1 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm a và b để hệ...

Câu hỏi 2 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Giải hệ phương trình...