Giải bài tập trang 54, 55 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập trang 54, 55 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 4 trang 54 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x; y) trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ và hai đường thẳng ${\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0$; ${\Delta }_2:x-\frac{a}{e}=0$ (Hình 7).

Gọi d(M; Δ₁), d(M; Δ₂) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng Δ₁, Δ₂.

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{M{F}_1}{d\left(M;{\Delta }_1\right)}=\frac{|a+ex|}{\left|x+\frac{a}{e}\right|} \\ =\frac{|a+ex|}{\frac{|a+ex|}{e}}=e \end{gathered}$$.

Dựa theo cách tính trên, tính $\frac{M{F}_2}{d\left(M;{\Delta }_2\right)}$.

Lời giải:

Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ₂ ở dạng: $x+0y-\frac{a}{e}=0.$ Với mỗi điểm M(x; y) thuộc hypebol, ta có:

$$\begin{gathered} d\left(M,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|x+0y-\frac{a}{e}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}} \\ =\left|x-\frac{a}{e}\right|. \end{gathered}$$

suy ra

$$\begin{gathered} \frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}=\frac{\left|a-ex\right|}{\left|x-\frac{a}{e}\right|} \\ =\frac{\left|a-ex\right|}{\left|\frac{xe-a}{e}\right|}=e. \end{gathered}$$

Thực hành 4 trang 55 Chuyên đề Toán 10:

Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:

a) $\left(H_1\right):\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$

b) $\left(H_2\right):\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$

c) $\left(H_3\right):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=1$.

Lời giải:

a) Có a² = 4, b² = 1, suy ra c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

$\Rightarrow$ Hai tiêu điểm của hypebol là $F_1\left(-\sqrt{5};0\right)$ và $F_2\left(\sqrt{5};0\right)$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là

 $$\begin{gathered} {\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0 \\ \iff x+\frac{a^2}{c}=0\iff x+\frac{4}{\sqrt{5}}=0. \end{gathered}$$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

$$\begin{gathered} {\Delta }_1:x-\frac{a}{e}=0 \\ \iff x-\frac{a^2}{c}=0\iff x-\frac{4}{\sqrt{5}}=0. \end{gathered}$$

b) Có a² = 36, b² = 64, suy ra c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{36+64}=10$

$\Rightarrow$ Hai tiêu điểm của hypebol là $F_1\left(-10;0\right)$ và $F_2\left(10;0\right)$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là

$$\begin{gathered} {\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0 \\ \iff x+\frac{36}{10}=0\iff x+\frac{18}{5}=0. \end{gathered}$$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

$$\begin{gathered} {\Delta }_1:x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0 \\ \iff x-\frac{36}{10}=0 \\ \iff x-\frac{18}{5}=0. \end{gathered}$$

c) Có a² = 9, b² = 9, suy ra c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$

$\Rightarrow$ Hai tiêu điểm của hypebol là $F_1\left(-3\sqrt{2};0\right)$ và $F_2\left(3\sqrt{2};0\right)$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là

$$\begin{gathered} {\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0 \\ \iff x+\frac{a^2}{c}=0 \\ \iff x+\frac{9}{3\sqrt{2}}=0 \\ \iff x+\frac{3}{\sqrt{2}}=0. \end{gathered}$$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

$$\begin{gathered} {\Delta }_1:x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0 \\ \iff x-\frac{9}{3\sqrt{2}}=0 \\ \iff x-\frac{3}{\sqrt{2}}=0. \end{gathered}$$

Vận dụng 5 trang 55 Chuyên đề Toán 10:

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng $\frac{288}{13}$.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 26, suy ra c = 13.

+) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng $\frac{288}{13}$, suy ra $2\frac{a}{e}=\frac{288}{13}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{144}{13}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{144}{13} \\ \Rightarrow \frac{a^2}{13}=\frac{144}{13}\Rightarrow a^2=144 \\ \Rightarrow b^2=c^2-a^2={13}^2-144=25. \end{gathered}$$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1.$

Bài 1 trang 55 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$.

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M\left(13;\frac{25}{12}\right)$ trên $\left(H\right)$.

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm N(x; y) $\in$ (H) sao cho NF₁ = 2NF₂ với F₁, F₂ là hai tiêu điểm của (H).

Lời giải:

a) Có a² = 144, b² = 25 $\Rightarrow$ a = 12, b = 5, $c=\sqrt{a^2+b^2}=13.$

Tâm sau của (H) là e = $\frac{c}{a}=\frac{13}{12}.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M\left(13;\frac{25}{12}\right)$ là:

MF₁ = $\left|a+\frac{c}{a}x\right|$$=\left|12+\frac{13}{12}.13\right|=\frac{313}{12};$

 MF₂ = $\left|a-\frac{c}{a}x\right|=$$\left|12-\frac{13}{12}.13\right|=\frac{25}{12}.$

b) Hai tiêu điểm của hypebol là F₁(–13; 0) và F₂(13; 0).

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là

$$\begin{gathered} {\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0 \\ \iff x+\frac{144}{13}=0. \end{gathered}$$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

$$\begin{gathered} {\Delta }_1:x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0 \\ \iff x-\frac{144}{13}=0. \end{gathered}$$

c) 

+) x = $\frac{48}{13}$ loại vì 0 < x < a.

+) x = $\frac{432}{13}$ thì:

$$\begin{gathered} \frac{{\left(\frac{432}{13}\right)}^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1 \\ \Rightarrow y^2=\frac{32400}{169} \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}y=\frac{180}{13}\\ y=-\frac{180}{13}\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Vậy có hai điểm N thoả mãn đề bài là N₁$\left(\frac{432}{13};\frac{180}{13}\right)$ và N₂$\left(\frac{432}{13};-\frac{180}{13}\right)$

Bài 2 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 20 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng $\frac{36}{5}$.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 20, suy ra c = 10.

+) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng $\frac{36}{5}$, suy ra $2\frac{a}{e}=\frac{36}{5}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{18}{5}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{18}{5} \\ \Rightarrow \frac{a^2}{10}=\frac{18}{5}\Rightarrow a^2=36 \\ \Rightarrow b^2=c^2-a^2={10}^2-36=64. \end{gathered}$$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1.$

Bài 3 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Cho đường tròn (C) tâm F₁, bán kính r và một điểm F₂ thoả mãn F₁F₂ = 4r.

a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H).

b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).

Lời giải:

a) Gọi (C'; r') là đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C);

I(x; y) là tâm của đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C).

Vì F₂ nằm ngoài (C) nên (C') tiếp xúc ngoài với (C) hoặc (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C').

+) Nếu (C') tiếp xúc ngoài với (C) thì r' + r = IF₁ $\Rightarrow$ IF₂ + r = IF₁ $\Rightarrow$ IF₁ – IF₂ = r

+) Nếu (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C') thì r' – r = IF₁ $\Rightarrow$ IF₂ – r = IF₁

$\Rightarrow$ IF₂ – IF₁ = r.

Vậy ta luôn có |IF₂ – IF₁| = r trong cả hai trường hợp

$\Rightarrow$ I nằm trên hypebol có hai tiêu điểm là F₁, F₂ và độ dài trục thực là r.

b) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của F₁F₂ và F₁, F₂ đều nằm trên trục Ox.

Giả sử phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Khi đó ta có 2a = r, suy ra a = $\frac{r}{2}$

F₁F₂ = 4r, suy ra c = 2r, suy ra $b^2=c^2-a^2={\left(2r\right)}^2-{\left(\frac{r}{2}\right)}^2=\frac{15r^2}{4}.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{\frac{r^2}{4}}-\frac{y^2}{\frac{15r^2}{4}}=1.$

Bài 4 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Trong hoạt động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km, vận tốc sóng vô tuyến là 300000 km/s và thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ hai trạm trên bờ biển luôn cách nhau 0,0012 s (hai trạm vô tuyến phát các tín hiệu cùng một thời điểm). Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo hypebol (H) của con tàu.

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với tiêu điểm của F₁F₂, đơn vị trên các trục là km.

Giả sử phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Gọi t₁ là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F₁; t₂ là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F₂, v là vận tốc sóng vô tuyến.

Theo đề bài ta có: |t₁ – t₂| = 0,0012

$\Rightarrow$|vt₁ – vt₂| = 0,0012v = 0,0012 . 300000 = 360 (km)

$\Rightarrow$|MF₁ – MF₂| = 360 với mọi vị trí của M

$\Rightarrow$ 2a = 360 $\Rightarrow$ a = 180.

Có khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km $\Rightarrow$ 2c = 600 $\Rightarrow$ c = 300

$\Rightarrow b^2=c^2-a^2$$={300}^2-{180}^2=57600.$

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{32400}-\frac{y^2}{57600}=1.$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 50, 51 Chuyên đề Toán 10 Bài 2

Giải bài tập trang 52, 53 Chuyên đề Toán 10 Bài 2