Giải bài tập trang 50, 51 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập trang 50, 51 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 1 trang 50 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ và điểm M(x₀; y₀) nằm trên (H). Các điểm M₁(–x₀; y₀), M₂(x₀; –y₀), M₃(–x₀; –y₀) có thuộc (H) không?

Lời giải:

Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc (H) thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{x_0^2}{a^2}-\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2} \\ =\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2} \\ =\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1 \end{gathered}$$

 nên các điểm có toạ độ M₁(–x₀; y₀), M₂(x₀; –y₀), M₃(–x₀; –y₀) cũng thuộc (H).

Thực hành 1 trang 51 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của hypebol này.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Hypebol kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6, suy ra 2a = 8, 2b = 6, suy ra a = 4 và b = 3.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

Có c² = a² + b² = 4² + 3² = 25, suy ra c = 5.

Toạ độ các đỉnh của hypebol là A₁(–4; 0) và A₂(4; 0).

Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F₁(–5; 0) và F₂(5; 0).

Tiêu cự của hypebol là 2c = 10.

Độ dài trục thực là 2a = 8, độ dài trục ảo là 2b = 6.

Vận dụng 1 trang 51 Chuyên đề Toán 10: Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol (H) (Hình 4). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính cao độ của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40 mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile ≈ 1,6 km ) và (H) có phương trình: $\frac{x^2}{400}-\frac{y^2}{100}=1.$

Lời giải:

Khi x = 40 thì 

$$\begin{gathered} \frac{{40}^2}{400}-\frac{y^2}{100}=1\Rightarrow \frac{y^2}{100}=3 \\ \Rightarrow y^2=300\Rightarrow \left[\begin{array}{l}y=10\sqrt{3}\\ y=-10\sqrt{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ Bề rộng của thảm nhiễu là $20\sqrt{3}$ (mile)

$\Rightarrow$ Cao độ của máy bay là $\frac{20\sqrt{3}}{5}=4\sqrt{3}$ ≈ 6,93 (mlie)

Vậy cao độ của máy bay là khoảng 6,93 dặm.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 52, 53 Chuyên đề Toán 10 Bài 2

Giải bài tập trang 54, 55 Chuyên đề Toán 10 Bài 2