Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Giải bài tập trang 52, 53 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Chân trời sáng tạo

    Với Giải bài tập trang 52, 53 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 2: Hypebol sách Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo  hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Chuyên đề Toán 10 trang 52, 53.

    1 2,282 20/07/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải bài tập trang 52, 53 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Chân trời sáng tạo

    Khám phá 2 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

    Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H):x2a2−y2b2=1.

    a) Chứng minh rằng F1M2 – F2M2 = 4cx.

    b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A1(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF2 – MF1 = 2a đã biết để chứng minh MF2+MF1=−2cxa. Từ đó, chứng minh các công thức: MF1=−a−cax; MF2=a−cax.

    c) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A2(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF1 – MF2 = 2a đã biết để chứng minh MF2+MF1=2cxa. Từ đó, chứng minh các công thức: MF1=a+cax; MF2=−a+cax.

    Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Hypebol - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    Lời giải:

    a) F1M2 = [x – (– c)]2 + (y – 0)2 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2;

    F2M2 = (x – c)2 + (y – 0)2 = x2 – 2cx + c2 + y2.

    F1M2 – F2M2 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 – 2cx + c2 + y2) = 4cx.

    b) Ta có: MF12 – MF22 = 4cx ⇒ (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx ⇒ (MF1 + MF2)(–2a) = 4cx

    ⇒ MF1 + MF2 = 4cx2a = –2cax. Khi đó:

    Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Hypebol - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    c) Ta có:

    Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Hypebol - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    Khi đó:

    Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Hypebol - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    Thực hành 2 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

    Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên hypebol (H):x264−y236=1.

    Lời giải:

    Có a2 = 64, b2 = 36, suy ra a = 8, b = 6, c = a2+b2=64+36=100=10.

    Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là:

    Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Hypebol - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    Vận dụng 2 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

    Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A2(a; 0) trên hypebol (H): x2a2−y2b2=1.

    Lời giải:

    Độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A2(a; 0) là:

    A2F1 = a+cax=a+caa=a+c=a+c (vì a + c > 0 );

    A2F2 = a−cax=a−caa=a−c=c−a (vì a – c < 0).

    Khám phá trang 53 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol (H):x2a2−y2b2=1. Chứng tỏ rằng ca>1.

    Lời giải:

    Có

    ca=a2+b2a=a2+b2a2=1+b2a2>1=1.

    Thực hành 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Tìm tâm sai của các hypebol sau:

    a) H1:x24−y21=1;

    b) H2:x29−y225=1;

    c) H3:x23−y23=1.

    Lời giải:

    a) Có a2 = 4, b2 = 1, suy ra a = 2, b = 1, c = a2+b2=4+1=5

    ⇒ tâm sai của hypebol là e = ca=52.

    b) Có a2 = 9, b2 = 25, suy ra a = 3, b = 5, c = a2+b2=9+25=31

    ⇒ tâm sai của hypebol là e = ca=313.

    c) Có a2 = 3, b2 = 3, suy ra 

    Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Hypebol - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    ⇒ tâm sai của hypebol là e = ca=63=2.

    Vận dụng 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

    Cho hypebol (H) có tâm sai bằng 2. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

    Lời giải:

    Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).

    Hypebol (H) có tâm sai bằng 2⇒ca=2

    ⇒a2+b2a=2⇒a2+b2a2=2⇒a2+b2=2a2⇒a2=b2⇒a=b⇒2a=2b.

    Vậy trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

    Vận dụng 4 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là 2 . 108 km.

    a) Lập phương trình chính tắc của (H).

    b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

    Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Hypebol - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    Lời giải:

    a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho tiêu điểm F2 của (H) trùng với tâm Mặt Trời, trục Ox đi qua đỉnh và tiêu điểm này của (H), đơn vị trên các trục là km.

    Gọi phương trình chính tắc của (H) là x2a2−y2b2=1 (a > 0, b > 0).

    Gọi toạ độ của vật thể là M(x; y).

    Áp dụng công thức bán kính qua tiêu, ta có: khoảng cách giữa vật thể và tâm Mặt Trời là MF2 = a−cax=a−ex = ex – a ≥ ea – a (vì vật thể nằm ở nhánh bên phải trục Ox nên x ≥ a).

    Như vậy khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là ea – a

    Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Hypebol - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    Vậy phương trình chính tắc của (H) là x21018−y20,44.1018=1.

    b) Bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ là:

    MF2 = a−cax=a−ex = |109 – 1,2x| (km).

    Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

    Giải bài tập trang 50, 51 Chuyên đề Toán 10 Bài 2

    Giải bài tập trang 54, 55 Chuyên đề Toán 10 Bài 2

    Tham khảo các loạt bài Toán 10 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 2,282 20/07/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: