Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Giải bài tập trang 31 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

    Với Giải bài tập trang 31 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học sách Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo  hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Chuyên đề Toán 10 trang 31.

    1 4,262 20/07/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải bài tập trang 31 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

    Thực hành 3 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng n3 + 2n chia hết cho 3 với mọi n∈ℕ*.

    Lời giải:

    Bước 1. Với n = 1, ta có 13 + 2 . 1 = 3 ⁝ 3. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

    Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k3 + 2k ⁝ 3.

    Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

    (k + 1)3 + 2(k + 1) ⁝ 3.

    Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

    (k + 1)3 + 2(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 2k + 2 = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

    Vì (k3 + 2k) và (3k2 + 3k + 3) đều chia hết cho 3 nên (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3) ⁝ 3 hay (k + 1)3 + 2(k + 1) ⁝ 3.

    Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

    Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    Thực hành 4 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi n∈ℕ*:

    1+q+q2+q3+q4+…+qn−1=1−qn1−q (q≠1).

    Lời giải:

    Bước 1. Với n = 1, ta có q1 – 1 = q0 = 1 = 1−q1−q=1−q11−q. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

    Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

    1+q+q2+q3+q4+…+qk−1=1−qk1−q.

    Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

    1+q+q2+q3+q4+…+qk−1+qk+1−1=1−qk+11−q.

    Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

    1+q+q2+q3+q4+…+qk−1+qk+1−1

    =1−qk1−q+qk+1−1=1−qk1−q+qk

    =1−qk+qk1−q1−q=1−qk+qk−qk+11−q=1−qk+11−q.

    Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

    Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    Thực hành 5 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần n∈ℕ*.

    Lời giải:

    Bước 1. Với n = 1, ta có rõ ràng một đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 phần.

    Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k đường thẳng khác nhau đi qua một điểm chia mặt phẳng ra thành 2k phần.

    Ta cần chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: (k + 1) đường thẳng khác nhau đi qua một điểm chia mặt phẳng ra thành 2(k + 1) phần.

    Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

    Nếu dựng đường thẳng đi qua điểm đã cho và không trùng với đường thẳng nào trong số những đường thẳng còn lại, thì ta nhận thêm 2 phần của mặt phẳng. Như vậy tổng số phần mặt phẳng là của 2k cộng thêm 2 , nghĩa là 2(k + 1).

    Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

    Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    Vận dụng trang 31 Chuyên đề Toán 10: (Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, người gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi Tn là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ nn∈ℕ*.

    a) Tính T1, T2, T3.

    b) Từ đó, dự đoán công thức tính Tn và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

    Lời giải:

    a)

    – Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T1 nhận được sau kì thứ 1 là:

    T1 = A + Ar = A(1 + r).

    – Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T2 nhận được sau kì thứ 2 là:

    T2 = A(1 + r) + A(1 + r)r = A(1 + r)(1 + r) = A(1 + r)2.

    – Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T3 nhận được sau kì thứ 3 là:

    T3 = A(1 + r)2 + A(1 + r)2r = A(1 + r)3.

    b) Từ câu a) ta có thể dự đoán Tn = A(1 + r)n.

    Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.

    Bước 1. Với n = 1 ta có T1 = A(1 + r) = A(1 + r)1.                                  

    Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

    Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: Tk = A(1 + r)k.

    Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: Tk + 1 = A(1 + r)k + 1.

    Thật vậy,

    Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) Tk + 1 nhận được sau kì thứ (k + 1) là:

    Tk + 1 = A(1 + r)k + A(1 + r)k.r = A(1 + r)k(1 + r) = A(1 + r)k + 1.

    Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

    Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    Vậy Tn = A(1 + r)n với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

    Giải bài tập trang 27 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

    Giải bài tập trang 29 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

    Giải bài tập trang 32 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

    Tham khảo các loạt bài Toán 10 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 4,262 20/07/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: