Giải bài tập trang 14 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 14 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Kết nối tri thức

Bài 1.1 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ số (2; 0;–1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.

a) $\left\{\begin{array}{ll}x-2z& =4\\ 2x+y-z& =5\\ -3x+2y& =-6\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{l}x-2y+3z=7\\ 2x-y^2+z=2\\ x+2y=-1\end{array}\right.$.

Lời giải:

a) Đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

Bộ ba số (2; 0;–1) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

2 – 2 . (–1) = 4;

2 . 2 + 0 – (–1) = 5;

–3 . 2 + 2 . 0 = –6.

b) Đây không là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vì phương trình thứ hai của hệ có chứa y².

Bài 1.2 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-y-z=20\\ x+y=-5\\ x=10\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{l}x-y-3z=20\\ x-z=3\\ x+3z=-7\end{array}\right.$.

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-y-z=20\\ x+y=-5\\ x=10\end{array}\iff \right.\left\{\begin{array}{l}2x-y-z=20\\ 10+y=-5\\ x=10\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2.10-\left(-15\right)-z=20\\ y=-15\\ x=10\end{array}\iff \right.\left\{\begin{array}{l}z=15\\ y=-15\\ x=10\end{array}\right.$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (10; –15; 15).

b) $\left\{\begin{array}{l}x-y-3z=20\\ x-z=3\\ x+3z=-7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-y-3z=20\\ x-z=3\\ -4z=10\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-y-3z=20\\ x-\left(-\frac{5}{2}\right)=3\\ z=-\frac{5}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-y-3z=20\\ x=\frac{1}{2}\\ z=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}-y-3\left(-\frac{5}{2}\right)=20\\ x=\frac{1}{2}\\ z=-\frac{5}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=-12\\ x=\frac{1}{2}\\ z=-\frac{5}{2}\end{array}.\right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = $\left(\frac{1}{2};-12;-\frac{5}{2}\right)$

Bài 1.3 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-y-z=2\\ x+y=3\\ x-y+z=2\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{l}3x-y-z=2\\ x+2y+z=5\\ -x+y=2\end{array}\right.$;

c) $\left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 2x-y+2z=6\\ 4x-7y=-6\end{array}\right.$;

d) $\left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 2x-y+2z=6\\ 4x-7y=3\end{array}\right.$;

e) $\left\{\begin{array}{l}3x-y-7z=2\\ 4x-y+z=11\\ -5x-y-9z=-22\end{array}\right.$;

f) $\left\{\begin{array}{l}2x-3y-4z=-2\\ 5x-y-2z=3\\ 7x-4y-6z=1\end{array}\right.$.

Kiểm tra lại kết quả tìm được bằng cách sử dụng máy tính cầm tay.

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-y-z=2\\ x+y=3\\ x-y+z=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y-z=2\\ x+y=3\\ 3x-2y=4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y-z=2\\ x+y=3\\ 5y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y-z=2\\ x+1=3\\ y=1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2.2-1-z=2\\ x=2\\ y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}z=1\\ x=2\\ y=1\end{array}.\right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (2; 1; 1).

b) $\left\{\begin{array}{l}3x-y-z=2\\ x+2y+z=5\\ -x+y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-z=2\\ 4x+y=7\\ -x+y=2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-z=2\\ 4x+y=7\\ 5y=15\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-z=2\\ 4x+3=7\\ y=3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3.1-3-z=2\\ x=1\\ y=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}z=-2\\ x=1\\ y=3\end{array}\right.$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (1; 3; –2).

c) $\left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 2x-y+2z=6\\ 4x-7y=-6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 4x-7y=-6\\ 4x-7y=-6\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 4x-7y=-6\end{array}\right.$

Rút x theo y từ phương trình thứ hai của hệ ta được x = $\frac{7y-6}{4}$ . Rút z theo x và y từ phương trình thứ nhất của hệ ta được z = x – 3y + 6 = $\frac{7y-6}{4}-3y+6=\frac{-5y+18}{4}$. Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = { $\left(\frac{7y-6}{4};y,\frac{-5y+18}{4}\right)$| y ∈ $\mathrm{ℝ}$}

d) $\left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 2x-y+2z=6\\ 4x-7y=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 4x-7y=-6\\ 4x-7y=3\end{array}\right.$.

Từ hai phương trình cuối, suy ra –6 = 3, điều này vô lí. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

e) $\left\{\begin{array}{l}3x-y-7z=2\\ 4x-y+z=11\\ -5x-y-9z=-22\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-7z=2\\ -y-31z=-25\\ -5x-y-9z=-22\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-7z=2\\ -y-31z=-25\\ -8y-62z=-56\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-7z=2\\ -y-31z=-25\\ -186z=-144\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-7z=2\\ -y-31.\frac{24}{31}=-25\\ z=\frac{24}{31}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{87}{31}\\ y=1\\ z=\frac{24}{31}\end{array}\right..$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = $\left(\frac{87}{31};1;\frac{24}{31}\right)$.

f) $\left\{\begin{array}{l}2x-3y-4z=-2\\ 5x-y-2z=3\\ 7x-4y-6z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-3y-4z=-2\\ -13y-16z=-16\\ 7x-4y-6z=1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-3y-4z=-2\\ -13y-16z=-16\\ -13y-16z=-16\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-3y-4z=-2\\ -13y-16z=-16\end{array}\right.$.

Rút y theo z từ phương trình thứ hai của hệ ta được y = $\frac{16-16z}{13}$.

Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất của hệ ta được:

$\frac{3y+4z-2}{2}=\frac{3.\frac{16-16z}{13}+4z-2}{2}$

$=\frac{36z+22}{26}=\frac{18z+11}{13}$.

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {$\left(\frac{18z+11}{13};\frac{16-16z}{13};z\right)$ | y ∈ $\mathrm{ℝ}$}.

Bài 1.4 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Ba người cùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, còn của người quản lí kho và tài xế xe tải là 156 triệu đồng. Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng. Hỏi lương hằng năm của mỗi người là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi lương hằng năm của quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải lần lượt là x, y, z (triệu đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, suy ra x + y = 164 (1).

– Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và tài xế xe tải là 156 triệu đồng, suy ra x + z = 156 (2).

– Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng, suy ra x – z = 8 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=164\\ x+z=156\\ x-z=8\end{array}\right..$

Giải hệ này ta được x = 82, y = 82, z = 74.

Vậy lương hằng năm của quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải lần lượt là 82, 82, 74 triệu đồng.

Bài 1.5 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng. Giá xe ôtô của hãng X tăng 8%, của hãng Y tăng 5% và của hãng Z tăng 12%. Nếu trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X thì giá của mỗi chiếc xe trong năm ngoái là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi giá của mỗi chiếc xe hãng X, Y, Z trong năm ngoái lần lượt là x, y, z (tỉ đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng, suy ra x + y + z =2,8 (1).

– Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng, suy ra 108%x + 105%y + 112%z = 3,018 hay 108x + 105y + 112z = 301,8 (2).

– Trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X, suy ra x – y = 0,2 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 

$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=2,8\\ 108x+105y+112z=301,8\\ x-y=0,2\end{array}\right..$

Giải hệ này ta được x = 1,2; y = 1; z = 0,6.

Vậy giá của mỗi chiếc xe hãng X, Y, Z trong năm ngoái lần lượt là 1,2; 1 và 0,6 tỉ đồng.

Bài 1.6 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau:

$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}\right.$

a) Giả sử (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên. Chứng minh rằng $\left(\frac{x_0+x_1}{2};\frac{y_0+y_1}{2};\frac{z_0+z_1}{2}\right)$ cũng là một nghiệm của hệ.

b) Sử dụng kết quả của câu a) chứng minh rằng, nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.

Lời giải:

a) Vì (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình nên:

$\left\{\begin{array}{l}{a}_1{x}_0+b_1{y}_0+c_1{z}_0=d_1\\ a_2{x}_0+b_2{y}_0+c_2{z}_0=d_2\\ a_3{x}_0+b_3{y}_0+c_3{z}_0=d_3\end{array}\right.$ và  $\left\{\begin{array}{l}{a}_1{x}_1+b_1{y}_1+c_1{z}_1=d_1\\ a_2{x}_1+b_2{y}_1+c_2{z}_1=d_2\\ a_3{x}_1+b_3{y}_1+c_3{z}_1=d_3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left(a_1{x}_0+b_1{y}_0+c_1{z}_0\right)+\left(a_1{x}_1+b_1{y}_1+c_1{z}_1\right)=2d_1\\ \left(a_2{x}_0+b_2{y}_0+c_2{z}_0\right)+\left(a_2{x}_1+b_2{y}_1+c_2{z}_1\right)=2d_2\\ \left(a_3{x}_0+b_3{y}_0+c_3{z}_0\right)+\left(a_3{x}_1+b_3{y}_1+c_3{z}_1\right)=2d_3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}_1\left(x_0+x_1\right)+b_1\left(y_0+y_1\right)+c_1\left(z_0+z_1\right)=2d_1\\ a_2\left(x_0+x_1\right)+b_2\left(y_0+y_1\right)+c_2\left(z_0+z_1\right)=2d_2\\ a_3\left(x_0+x_1\right)+b_3\left(y_0+y_1\right)+c_3\left(z_0+z_1\right)=2d_3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}_1\frac{\left(x_0+x_1\right)}{2}+b_1\frac{\left(y_0+y_1\right)}{2}+c_1\frac{\left(z_0+z_1\right)}{2}=d_1\\ a_2\frac{\left(x_0+x_1\right)}{2}+b_2\frac{\left(y_0+y_1\right)}{2}+c_2\frac{\left(z_0+z_1\right)}{2}=d_2\\ a_3\frac{\left(x_0+x_1\right)}{2}+b_3\frac{\left(y_0+y_1\right)}{2}+c_3\frac{\left(z_0+z_1\right)}{2}=d_3\end{array}\right.$

Mặt khác do (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁) phân biệt nên $\left(\frac{x_0+x_1}{2};\frac{y_0+y_1}{2};\frac{z_0+z_1}{2}\right)$ cũng đôi một phân biệt với (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁).

Do đó $\left(\frac{x_0+x_1}{2},\frac{y_0+y_1}{2},\frac{Z_0+z_1}{2}\right)$ cũng là một nghiệm của hệ.

b) Xét hệ phương trình bậc nhất ba ẩn $\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}\right.$.

có (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình này.

Giả sử hệ chỉ có n nghiệm đôi một phân biệt (x₀; y₀; z₀), (x₁; y₁; z₁), ..., (x_n; y_n; z_n).

Ta chọn ra hai nghiệm (x_i; y_i; z_i) và (x_j; y_j; z_j) thoả mãn x_i và x_j là hai số nhỏ nhất trong tập hợp A = {x₀; x₁; ...; x_n}.

Khi đó, áp dụng câu a) ta được $\left(\frac{x_i+x_j}{2};\frac{y_i+y_j}{2};\frac{z_i+z_j}{2}\right)$ cũng là một nghiệm của hệ.

Mặt khác $\frac{x_i+x_j}{2}$ khác x_i, x_j và $\frac{x_i+x_j}{2}$ < max{x_i, x_j} nên $\frac{x_i+x_j}{2}$ không trùng với phần tử nào trong tập hợp A. Do đó hệ đã cho có n + 1 nghiệm phân biệt (vô lí).

Vậy hệ này có vô số nghiệm.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 6, 7 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Giải bài tập trang 8 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Giải bài tập trang 11 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Giải bài tập trang 12, 13 Chuyên đề Toán 10 Bài 1