Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

Bài 16 trang 159 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tứ giác ABCD có $\widehat{B}=\widehat{D}={90}^o$.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

b) So sánh độ dài AC và BD. Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?

Lời giải:

a)

Gọi I là trung điểm của AC

Xét tam giác ABC vuông tại B

BI là đường trung tuyến do I là trung điểm của AC

$\Rightarrow BI=AI=CI=\frac{AC}{2}$ (1) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác ADC vuông tại D

DI là đường trung tuyến do I là trung điểm của AC

$\Rightarrow DI=AI=CI=\frac{AC}{2}$ (2) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ (1) và (2) ta có: 

$BI=DI=CI=AI=\frac{AC}{2}$

Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn tâm I bán kính $R=\frac{AC}{2}$

b)

Trong đường tròn tâm M ta có BD là dây cung không đi qua tâm, AC là đường kính nên: BD < AC.

AC = BD khi và chỉ khi BD là đường kính.

$$\begin{gathered} \Rightarrow I\in BD \\ \Rightarrow IA=IB=IC=ID \end{gathered}$$

Xét tứ giác ABCD có

AC giao BD tại I

$IA=IB=IC=ID$

Khi đó, ABCD là hình chữ nhật.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 15 trang 158 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK...

Bài 17 trang 159 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây EF không cắt đường kính...

Bài 18 trang 159 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) bán kính OA = 3cm...

Bài 19 trang 159 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R...

Bài 20 trang 159 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD...

Bài 21 trang 159 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I...

Bài 22 trang 159 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm bên trong đường tròn...

Bài 23 trang 159 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn...

Bài tập bổ sung:

Bài 2.1 trang 159 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;R)...

Bài 2.2 trang 160 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 2cm). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau...

Bài 2.3 trang 160 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O;R), dây AB khác đường kính...