Với $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$, hãy rút gọn biểu thức  $S=1.4+2.7+...+n\left(3n+1\right)$

Với mọi số nguyên dương n , tổng $S_n=1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)$ là: 

Tính tổng:

1.4 + 2.7 + … +n.(3n +1)

Chọn mệnh đề đúng: Với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ thì:

Với mọi số nguyên dương $n\ge 2$, ta có: $\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)...\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{an+2}{bn}$, trong đó a, b là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức $T=a^2+b^2$

Đặt $S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$ với $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng

Đặt $S_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}$ với $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $2^{n+1}>n^2+3n$

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến $P\left(n\right)$ đúng với mọi số tự nhiên $n\ge p$ (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề $P\left(n\right)$ đúng với $n=k$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Với mọi số nguyên dương n, tổng 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) là:

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến  đúng với mọi số tự nhiên $n\ge p$ ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

- Bước 1, kiểm tra mệnh đề $P\left(n\right)$ đúng với $n=p$

- Bước 2, giả thiết mệnh đề $P\left(n\right)$ đúng với số tự nhiên bất kỳ $n=k\ge p$ và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với  $n=k+1$

Trong hai bước trên:

Với mọi số tự nhiên n , tổng $S_n=n^3+3n^2+5n+3$ chia hết cho:

Với $n\in N^{*}$ , ta xét các mệnh đề: $P$ :“ $7^n$ + 5  chia hết cho 2”;

Q: “$7^n$+ 5 chia hết cho 3” và R: “$7^n$+ 5  chia hết cho 6”.

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Đối với bài toán chứng minh $P\left(n\right)$ đúng với mọi $n\ge p$ với p là số tự nhiên cho trước thì ở bước 1 ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n=k+1$ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số nguyên dương n thì: