Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$?

Đáp án đúng: A.

* Lời giải:

Vì $0<\frac{2}{\pi }<1$ nên hàm số $y={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^x$ nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$

* Phương pháp giải:

- Hàm số bậc nhất xác định bởi mọi x $\in ℝ$ .

- Hàm số bậc nhất đồng biến trên $ℝ$  khi a > 0.

- Hàm số bậc nhất nghịch biến trên $ℝ$  khi a < 0.

* Một số lý thuyết liên quan:

Khái niệm về tính đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc $ℝ$ .  

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị y = f(x) tương ứng cũng tăng thì hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của y = f(x) tương ứng giảm thì hàm số y = f(x) là hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến

Cách 1: Dựa vào khái nệm

Với x1, x2 bất kì thuộc :

- Nếu $x_1<x_2$ và $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$  thì hàm số y = f(x) đồng biến trên $ℝ$ .

- Nếu $x_1<x_2$ và $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên $ℝ$ .

Cách 2: Xét dấu của giá trị T

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x), ta xét dấu của T, với $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$  và $x_1,x_2\in ℝ$

Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

Định nghĩa logarit

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$

Tính chất của logarit

Cho hai số dương a và b; a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây:

log_a1 = 0; log_aa = 1

$a^{{\log }_{a}b}=b;\log {}_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a(b_1.b{}_2)={\log }_a{b}_1+{\log }_{a}b{}_2$

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a\frac{b_1}{b_2}={\log }_a{b}_1-{\log }_{a}b{}_2$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: ${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$( a > 0; b > 0; a ≠ 1)

Logarit của một lũy thừa

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

Khảo sát hàm số mũ y = a^x ( a > 0 và a ≠ 1).

y = ax ; a > 1	y = ax ; 0 < a < 1
1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên y’ = ax.ln a > 0 với mọi x Giới hạn đặc biệt: $$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0; \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty \end{gathered}$$ Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang. 3. Bảng biến thiên: 4. Đồ thị	1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên y’ = ax.ln a < 0 với mọi x Giới hạn đặc biệt: $$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=+\infty ; \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=0 \end{gathered}$$ Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang. 3. Bảng biến thiên: 4. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a^x ( a > 0; a ≠ 1).

Tập xác định	$\left(-\infty ;+\infty \right)$
Đạo hàm	y’ = ax. lna
Chiều biến thiên	a > 1: Hàm số luôn đồng biến. 0 < a < 1: Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Trục Ox là tiệm cận ngang
Đồ thị	Đi qua các điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành (y = ax > 0 $\forall x\in ℝ$).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Lôgarit (2024) và bài tập có đáp án 

50 bài tập về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (có đáp án 2024) – Toán 12 

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12