Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+8x-4y+10z-4=0.$ Khi đó (S) có tâm I và bán kính R lần lượt là: 

Đáp án đúng: A

*Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(-4; 2; -5) 

Bán kính $R=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+2^2+{\left(-5\right)}^2-\left(-4\right)}=7.$

*Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ (2) với $d=a^2+b^2+c^2-R^2$

Từ đó ta có phương trình (2) với điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$ là phương trình mặt cầu tâm I (-a; -b; -c) có bán kính là $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$

*Lý thuyến cần nắm và dạng bài toán về phương trình mặt cầu:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) và bán kính R có phương trình là

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$(1).

Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ (2) với $d=a^2+b^2+c^2-R^2$

Từ đó ta có phương trình (2) với điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$ là phương trình mặt cầu tâm I (-a; -b; -c) có bán kính là $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$

Đặc biệt nếu mặt cầu (S) có $\left\{\begin{array}{l}\text{tâm }O\left(0;0;0\right)\\ \text{bán kính }R\end{array}\right.$ thì phương trình mặt cầu (S) là

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2=R^2$

Các dạng bài tập và cách viết phương trình mặt cầu

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) là một mặt cầu

Phương pháp giải:

Xét phương trình :

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$

Khi đó mặt cầu có tâm I (a; b; c), bán kính R

+) Xét phương trình :

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$

Khi đó mặt cầu có:

$\left\{\begin{array}{l}\text{tâm }I\left(a;b;c\right)\\ \text{bán kính }R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}\end{array}\right.$

Điều kiện để (S) là phương trình mặt cầu là $a^2+b^2+c^2-d>0$

+) Đặc biệt: $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=R^2$, suy ra (S) có $\left\{\begin{array}{l}\text{tâm }O\left(0;0;0\right)\\ \text{bán kính }R\end{array}\right.$

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tâm I (a; b; c).

Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

Bước 3: Thế vào phương trình (S):

Dạng phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và bán kính R.

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$

Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho điểm I (a; b; c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có

$R=d\left(I;\left(P\right)\right)=\frac{|Aa+Bb+Cc+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Từ đó viết được phương trình mặt cầu tâm I và bán kính R đã tính phía trên.

 Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với đường thẳng

Phương pháp giải:

Cho điểm I (a; b; c) và đường thẳng d.

Gọi H là tiếp điểm của đường thẳng d và mặt cầu tâm I. Tìm H.

Khi đó bán kính của mặt cầu R = IH.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Phương trình mặt cầu (lý thuyết và cách giải các dạng bài tập)

Toán 12 Bài 17 (Kết nối tri thức): Phương trình mặt cầu