Một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R = 6, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của đường tròn và hình chữ nhật đó nội tiếp. Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó.

Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y=x^2,y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$ và trục hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay  quanh trục hoành. 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+8x-4y+10z-4=0.$ Khi đó (S) có tâm I và bán kính R lần lượt là: 

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(4;m;2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(m-1;2;5\right).$ Tìm m để $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$.

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3a. Cắt hình trụ bỏi một mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng $a\sqrt{5},$ ta được một thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích của khối trụ đã cho.

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S. Tính xác suất để số được chọn có đúng bốn chữ số lẻ và chữ số 0 có hai chữ số kề nó là chữ số lẻ.

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{u}\right|=2;\left|\overrightarrow{v}\right|=4,\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={60}^0.$ Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}.$ 

Trong không gian Oxyz cho ba điểm $M\left(4;-1;3\right),N\left(-5;11;8\right)$ và P(1; 3; m). Tìm m để M, N, P thẳng hàng.

Một ngân hàng X quy định về số tiền nhận được của ngân hàng sau n năm gửi vào ngân hàng tuân theo công thức $P\left(n\right)=A{\left(1+9\%\right)}^n,$ trong đó A là số tiền gửi ban đầu của khác hàng. Hỏi số tiền ít nhất mà khách hàng B phải gửi vào ngân hàng X là bao nhiêu để sau 5 năm khác hàng đó rút ra được lớn hơn 950 triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng triệu)?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $\mathrm{ℝ}$ là $f\text{'}\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+3\right).$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 2021] để hàm số $y=f\left(x^2+3x-m\right)$ đồng biến trên khoảng (0; 2) 

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right),SA=\sqrt{7},AB=3,BC=3.$ Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng: