Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển \[{\left( {x + \frac{1}{{2x}}} \right)^5}\].

Đáp án đúng là: A

Lời giải

Theo khai triển nhị thức Newton ta có:

\[{\left( {x + \frac{1}{{2x}}} \right)^5}\]

\[ = C_5^0.{x^5} + C_5^1.{x^4}.\frac{1}{{2x}} + C_5^2.{x^3}.{\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^2} + C_5^3.{x^2}.{\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^3} + C_5^4.x.{\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^5}\]

\[ = {x^5} + 5.{x^4}.\frac{1}{{2x}} + 10.{x^3}.\frac{1}{{4.{x^2}}} + 10.{x^2}.\frac{1}{{8{x^3}}} + 5.x.\frac{1}{{16{x^4}}} + \frac{1}{{32{x^5}}}\]

\[ = {x^5} + \frac{5}{2}.{x^3} + \frac{5}{2}.x + \frac{5}{{4x}} + \frac{5}{{16{x^3}}} + \frac{1}{{32{x^5}}}\]

Vậy số hạng cần tìm là \(\frac{5}{2}{x^3}\).

*Phương pháp giải:

* Với khai triển (ax^p + bx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có: 

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m 

Từ đó tìm 

Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là:với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có: 

*Lý thuyết:

Nhị thức Newton là một định lý toán học quan trọng liên quan đến khai triển hàm mũ của tổng và phân tích các đa thức bậc cao. Định lý Nhị thức Newton có ứng dụng rộng rãi trong toán học và nhiều lĩnh vực khác, bao gồm:

+ Tính tổ hợp và chỉnh hợp: Định lý Nhị thức Newton là công cụ quan trọng trong việc tính toán số cách sắp xếp hoặc chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan trọng thứ tự, điều này có ứng dụng trong nhiều vấn đề tổ hợp và chỉnh hợp.

+ Dãy số: Định lý Nhị thức Newton thường được sử dụng để chứng minh các thuộc tính của các dãy số, ví dụ như dãy số Fibonacci và dãy số Pascal.

+ Xác suất và thống kê: Trong xác suất và thống kê, định lý Nhị thức Newton được sử dụng để tính xác suất và biểu diễn các phân phối xác suất, nhất là trong việc tính toán xác suất của các biến ngẫu nhiên rời rạc.

+ Lý thuyết đồ thị: Công thức Nhị thức được sử dụng để tính toán số lượng đồ thị con trong một đồ thị, điều này có ứng dụng trong lý thuyết đồ thị và các vấn đề liên quan đến mạng lưới.

2. Công thức Nhị thức Newton và khai triển

Với $a,b$ là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên $n\ge 1$, ta có:

Hai công thức khai triển:

• ${\left(a+b\right)}^4=C_4^0{a}^4+C_4^1{a}^{3}b+C_4^2{a}^2{b}^2+C_4^{3}a{b}^3+C_4^4{b}^4$

$=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4;$

• ${\left(a+b\right)}^5=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$

 

$=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5.$

Hai công thức trên gọi là công thức nhị thức Newton (gọi tắt là nhị thức Newton) ${\left(a+b\right)}^n$ ứng với n = 4 và n = 5.

Chú ý:

– Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton (a + b)ⁿ với n = 0; 1; 2; 3; … được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như dưới đây.

 

Xem thêm

Lý thuyết Nhị thức Newton (công thức, khai triển) các dạng bài tập và cách giải 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Nhị Thức Newton (có đáp án ) | Toán 11