Tìm giá trị lớn nhất C=9x+2-$3x^2$

Lời giải

${\displaystyle C=9x+2-3x^2}$

${\displaystyle =-3(x^2-3x)+2}$

${\displaystyle =-3(x^2-3x+\frac{4}{9}-\frac{4}{9})+2}$

${\displaystyle =-3{(x-\frac{2}{3})}^2+\frac{4}{3}+2}$

${\displaystyle =-3{(x-\frac{2}{3})}^2+\frac{10}{3}\le \frac{10}{3}}$

${\displaystyle \Rightarrow }$ Dấu "=" xảy ra khi :

${\displaystyle -3{(x-\frac{2}{3})}^2+\frac{10}{3}=\frac{10}{3}}$

${\displaystyle \iff -3{(x-\frac{2}{3})}^2=0}$

${\displaystyle \iff x-\frac{2}{3}=0}$

${\displaystyle \iff x=\frac{2}{3}}$

Vậy ${\displaystyle GTLN}$ là ${\displaystyle \frac{10}{3}}$ khi ${\displaystyle x=\frac{2}{3}}$

*Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x₁); f(x₂); …; f(x_n); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M=\underset{\left(a;b\right)}{\max }f\left(x\right);m=\underset{\left(a;b\right)}{\min }f\left(x\right)$

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M. Kí hiệu $M=\underset{D}{\max }f\left(x\right)$

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m. Kí hiệu $m=\underset{D}{\min }f\left(x\right)$

Chú ý:

- Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) (mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.

- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

* Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 1: Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x₁); f(x₂); …; f(x_n); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M=\underset{\left(a;b\right)}{\max }f\left(x\right);m=\underset{\left(a;b\right)}{\min }f\left(x\right)$

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (có đáp án ) - Toán 12 

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo