Số các số nguyên dương x thỏa mãn $4^x+2023\left(x+1\right)<\left(x+2024\right){.2}^x$ là:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa cạnh bên với đáy một góc 45^o. Tính cosin của góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp đã cho.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x=3$. Tìm tất cả các giá trị thực dương của tham số m để mặt phẳng x - 2y + 2z + m = 0 tiếp xúc với mặt cầu (S)

Cho khối nón có đường kính đáy bằng 4a và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối nón đã cho bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Hình chiếu vuông góc của điểm M(1;-2;3) lên mặt phẳng (Oyz) có toạ độ là:

Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB=2a, cạnh bên $SA=a\sqrt{2}$. Thể tích khối chóp đã cho bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu $\left(\text{S}\right):x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-1=0$và mạt phẳng (P): x + y + 2z + 5 = 0. Lấy điểm A di động trên (S) và điểm B di động trên (S) sao cho $\overrightarrow{A\text{B}}$ cùng phương $\overrightarrow{a}=\left(-2;1;-1\right)$. Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn AB.