Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = 2t³ + 4t + 1, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây.

a) Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t.

b) Đạo hàm v'(t) biểu thị tốc độ thay đổi của vận tốc theo thời gian, còn gọi là gia tốc của chuyển động, kí hiệu a(t). Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2.

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

b) y = lnx.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x² – x)×2^x;                   

b) y = x²log₃x;                                    

c) y = e^{3x + 1}.

Tìm đạo hàm của các hàm số:                                

b)  $y=\frac{1}{x}$ tại  $x=-\frac{1}{4}$.

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số  $y=\sqrt{x}$ tại điểm x = x₀ với x₀ > 0.

Tính đạo hàm của hàm số y = x¹⁰ tại x = −1 và  $x=\sqrt[3]{2}$.

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = 2x⁴ – 5x² + 3;                                      

b) y = xe^x.

Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = xlog₂x;      b) y = x³e^x.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = sin3x;                                                          

b) y = cos³2x;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (2x³ + 3)²;                    

b) y = cos3x;                             

Tính đạo hàm của các hàm số sau:   

d) $y=\sqrt{5x}$.

Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số w(t) = 0,000758t³ – 0,0596t² + 1,82t + 8,15, trong đó t được tính bằng tháng và w được tính bằng pound (nguồn: https://www.cdc.gov/growthcharts/data/who/GrChrt_Boys). Tính tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

c) y = tan²x;                                                           

d) y = cot(4 – x²).

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số có đạo hàm tại x₀. Xét hàm số h(x) = f(x) + g(x).

Ta có  $\frac{h\left(x\right)-h\left(x_0\right)}{x-x_0}=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}+\frac{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Nên  $h^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{h\left(x\right)-h\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}+\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}{x-x_0}=\mathrm{...}+\mathrm{...}$

Chọn biểu thức thích hợp thay cho chỗ chấm để tìm h'(x₀).

b) Nhắc lại đạo hàm của các hàm số y = x²; y = x³ đã tìm được ở bài học trước. Từ đó, dự đoán đạo hàm của hàm số y = xⁿ với n Î ℕ*.

Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức s(t) = 0,81t², trong đó t là thời gian được tính bằng giây và s tính bằng mét. Một vật được thả rơi từ độ cao 200 m phía trên Mặt Trăng. Tại thời điểm t = 2 sau khi thả vật đó, tính:

a) Quãng đường vật đã rơi;

b) Gia tốc của vật.