Để tính đạo hàm của các hàm số là tổng, hiệu, tích hoặc thương của f(x) và g(x) tại x₀ thì ta tìm giới hạn của tổng, hiệu, tích hoặc thương của f(x) và g(x) tại x₀.

a) Ta có   $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x-x_0}{x-x_0}=1$.

Vậy y'(x₀) = 1.

b) Có (x²)' = 2x; (x³)' = 3x²;

Dự đoán (xⁿ)' = nx^{n – 1}.

Ta có y' = (x¹⁰)' = 10x⁹.

Khi đó y'(−1) = 10×(−1)⁹ = −10;

 $y^{\text{'}}\left(\sqrt[3]{2}\right)=10\cdot {\left(\sqrt[3]{2}\right)}^9=10\cdot {\left(2^{\frac{1}{3}}\right)}^9=80$.

Ta có  $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x-x_0}{\left(x-x_0\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\right)}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$.

Vậy  $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$.

Ta có  $y^{\text{'}}={\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số  $y=\sqrt{x}$ tại điểm có hoành độ bằng 4 là:

 $k=y^{\text{'}}\left(4\right)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$.

Với x = 4 thì  $y=\sqrt{4}=2$.

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  $y=\sqrt{x}$ tại điểm có hoành độ bằng 4 là  $y=\frac{1}{4}\left(x-4\right)+2$ hay  $y=\frac{1}{4}x+1$.

Vậy $y=\frac{1}{4}x+1$  là tiếp tuyến cần tìm.

a) Ta có  $y^{\text{'}}={\left(\sqrt[4]{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{4}\cdot x^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$.

Khi đó  $y^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt[4]{1^3}}=\frac{1}{4}$.

b) Ta có  $y^{\text{'}}={\left(\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{x^2}$.

Khi đó  $y^{\text{'}}\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{{}^{{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2}}=-16$.

Có  $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ $=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}$

 $=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{2cos\left(\frac{x+x_0}{2}\right)\sin \left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left[2cos\left(\frac{x+x_0}{2}\right)\right]\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }\left[\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{\frac{x-x_0}{2}}\right]$

 $=\left[2cos\left(\frac{2x_0}{2}\right)\right]\cdot \frac{1}{2}=\cos x_0$ (do  $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin \left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{\frac{x-x_0}{2}}=1$).

Vậy y' = (sinx)' = cosx.

Ta có y' = (tanx)' =  $\frac{1}{co{s}^{2}x}$.

Vậy $y^{\text{'}}\left(\frac{3\pi }{4}\right)=\frac{1}{co{s}^2\left(\frac{3\pi }{4}\right)}=2$  .

a) Có  $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ $=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^x-e^{x_0}}{x-x_0}$

 $=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^{x_0}\left(e^{x-x_0}-1\right)}{x-x_0}=e^{x_0}$ (do  $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^{x-x_0}-1}{x-x_0}=1$).

Vì y'(x₀) =  $e^{x_0}$ nên y' = (e^x)' = e^x.

b) Ta có  $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ $=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left[\frac{1}{x_0}\cdot \frac{\ln \frac{x}{x_0}}{\frac{x}{x_0}-1}\right]=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{x_0}\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln \left[1+\left(\frac{x}{x_0}-1\right)\right]}{\frac{x}{x_0}-1}=\frac{1}{x_0}$

(do  $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln \left[1+\left(\frac{x}{x_0}-1\right)\right]}{\frac{x}{x_0}-1}=1$).

Do y'(x₀) =  $\frac{1}{x_0}$ nên y' = (lnx)' =  $\frac{1}{x}$.

a) Ta có y' = (9^x)' = 9^x×ln9.

Khi đó y'(1) = 9¹×ln9 = 9ln9.

b) Ta có y' = (lnx)' =  $\frac{1}{x}$.

Khi đó  $y^{\text{'}}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$.

Ta có  $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=f^{\text{'}}\left(x_0\right)$ và  $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}{x-x_0}=g^{\text{'}}\left(x_0\right)$ nên h'(x₀) = f'(x₀) + g'(x₀).

Do đó  $h\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{h\left(x\right)-h\left(x_0\right)}{x-x_0}$

 $=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}+\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}{x-x_0}=f^{\text{'}}\left(x_0\right)+g^{\text{'}}\left(x_0\right)$.

a) y' = (xlog₂x)' = (x)' log₂x + x(log₂x)'

=   ${\log }_{2}x+x\cdot \frac{1}{x\ln 2}={\log }_{2}x+\frac{1}{\ln 2}$.

b) y' = (x³e^x)' = (x³)'e^x + x³(e^x)' = 3x²e^x + x³e^x.

a) Ta có y = u² = (sinx)² = sin²x.

b) Ta có y'_x = (sin²x)' = (sinx×sinx)' = (sinx)'×sinx + sinx×(sinx)'

= cosx×sinx + sinx×cosx = 2sinxcosx = sin2x. (1)

y'_u = (u²)' = 2u = 2sinx.

u'_x = (sinx)' = cosx.

Có y'_u×u'_x = 2sinxcosx = sin2x. (2)

Từ (1) và (2), ta có: y'_x = y'_u×u'_x.

a) y' = [(2x³ + 3)²]' = 2(2x³ + 3)(2x³ + 3)' = 12x²(2x³ + 3).

b) y' = (cos3x)' = −sin3x×(3x)' = −3sin3x.

c) y' = [log₂(x² + 2)]' =   $\frac{{\left(x^2+2\right)}^{\text{'}}}{\left(x^2+2\right)\ln 2}=\frac{2x}{\left(x^2+2\right)\ln 2}$.

a) Vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = (2t³ + 4t + 1)' = 6t² + 4.

b) a(t) = v'(t) = (6t² + 4)' = 12t.

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là a(2) = 12×2 = 24 (m/s²).

a) Có y' = (x² – x)' = 2x – 1.

Có y" = (2x – 1)' = 2. Vậy y" = 2.

b) Có y' = (cosx)' = −sinx.

y" = (−sinx)' = −cosx. Vậy y" = −cosx.

Vận tốc của hòn sỏi tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = (4,9t²)' = 9,8t.

Gia tốc của hòn sỏi tại thời điểm t là a(t) = v'(t) = (9,8t)' = 9,8.

Gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3 là a(3) = 9,8 m/s².

Vậy gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3 là 9,8 m/s².

a)  $y^{\text{'}}={\left(2x^3-\frac{x^2}{2}+4x-\frac{1}{3}\right)}^{\text{'}}$

  $={\left(2x^3\right)}^{\text{'}}-{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\text{'}}+{\left(4x\right)}^{\text{'}}-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\text{'}}=6x^2-x+4$.

b)   $y^{\text{'}}={\left(\frac{-2x+3}{x-4}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(-2x+3\right)}^{\text{'}}\left(x-4\right)-\left(-2x+3\right){\left(x-4\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-4\right)}^2}$

   $=\frac{-2\left(x-4\right)-\left(-2x+3\right)}{{\left(x-4\right)}^2}=\frac{-2x+8+2x-3}{{\left(x-4\right)}^2}=\frac{5}{{\left(x-4\right)}^2}$.

d)     $y^{\text{'}}={\left(\sqrt{5x}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(5x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{5x}}=\frac{5}{2\sqrt{5x}}$.

a) y' = (sin3x)' = cos3x×(3x)' = 3cos3x.

b) y' = (cos³2x)' = 3cos²2x(cos2x)' = −6cos²2xsin2x.

c) y' = (tan²x)' = 2tanx×(tanx)'

=  $2\tan x\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)$ = 2tanx(1 + tan²x).

a) y' = [(x² – x)×2^x]' = (x² – x)'×2^x + (x² – x)×(2^x)'

= (2x – 1)×2^x + (x² – x)×2^x×ln2

= 2^x(x²ln2 + 2x – 1 – xln2).

b) y' = (x²log₃x)' = (x²)'log₃x + x²(log₃x)'

= 2xlog₃x +  $\frac{x^2}{x\ln 3}$=  $2x{\log }_{3}x+\frac{x}{\ln 3}$.

c) y' = (e^{3x + 1})' = e^{3x + 1}×(3x + 1)' = 3e^{3x + 1}.

a) y' = (2x⁴ – 5x² + 3)' = 8x³ – 10x.

y" = (8x³ – 10x)' = 24x² – 10.

Vậy y" = 24x² – 10.

b) y' = (xe^x)' = x'e^x + x×(e^x)' = e^x + xe^x.

y" = (e^x + xe^x)' = e^x + e^x + xe^x = 2e^x + xe^x.

Vậy y" = 2e^x + xe^x.

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm t là:

w'(t) = (0,000758t³ – 0,0596t² + 1,82t + 8,15)' = 0,002274t² – 0,1192t + 1,82.

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi là:

w'(10) = 0,002274×(10)² – 0,1192×10 + 1,82. = 0,8554 (pound/tháng).

Vậy tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi là 0,8554 pound/tháng.

Ta có  $C^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\sqrt{5x^2+60}\right)}^{\text{'}}$   $=\frac{{\left(5x^2+60\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{5x^2+60}}=\frac{10x}{2\sqrt{5x^2+60}}=\frac{5x}{\sqrt{5x^2+60}}$.

Có x'(t) = (20t + 40)' = 20; x(4) = 120.

Khi đó, tốc độ tăng chi phí của công ty sau t tháng là: C'(x(t)) = C'(x)×x'(t).

Tốc độ tăng chi phí của công ty sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó là:

C'(x(4)) = C'(120)×x'(4)  $=\frac{5\cdot 120}{\sqrt{5\cdot {120}^2+60}}\cdot 20\approx 44,7$(nghìn đô-la/tháng).

Tốc độ tăng chi phí của công ty sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó khoảng 44,7 nghìn đô/tháng.

a) Quãng đường vật đã rơi tại thời điểm t = 2 là: s(2) = 0,81×2² = 3,24 (m).

Vậy sau 2 giây vật đã rơi được 3,24 m.

b) Có v(t) = s'(t) = (0,81t²)' = 1,62t.

a(t) = v'(t) = (1,62t)' = 1,62.

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm t = 2 là 1,62 m/s².