Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

Đáp án đúng: B

*Lời giải

$y\left(-x\right)=c\text{os}\left(-2x\right)=c\text{os}2x\Rightarrow y=c\text{os}2x$ và là hàm số chẵn

*Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa

Hàm số y = f(x) xác định trên D

    + Hàm số chẵn 

    + Hàm số lẻ 

* Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ.

B1: Tìm tập xác định của hàm số.

B2: Kiểm tra

    Nếu ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D Chuyển qua bước ba

    Nếu ∃ x₀ ∈ D ⇒ -x₀ ∉ D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.

B3: xác định f(-x) và so sánh với f(x).

    Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn

    Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ

    Nếu tồn tại một giá trị ∃ x₀ ∈ D mà f(-x₀ ) ≠ ± f(x₀) kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài về tính chẵn-lẻ của hàm số lượng giác:

a) Tính chẵn, lẻ của hàm số:

* Định nghĩa:

- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu: $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ và f(-x) = f(x).

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.

- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu: $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ và f(-x) = - f(x).

Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

* Đối với hàm số lượng giác:

- Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên D = R.

- Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên D = R.

- Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$.

- Hàm số y = cotx là hàm số lẻ trên $D=ℝ\backslash \left\{k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) Tính tuần hoàn và chu kì của hàm số:

* Định nghĩa:

- Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T\ne 0$ sao cho với mọi $x\in D$ ta có $(x+T)\in D$; $(x-T)\in D$ và f(x + T) = f(x).

- Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hoàn f.

* Đối với hàm số lượng giác:

Hàm số y = sinx; y = cosx tuần hoàn với chu kì $2\mathrm{\pi }$.

Hàm số y = tanx; y = cotx tuần hoàn với chu kì $\mathrm{\pi }$.

Các dạng bài tập

Dạng 1. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

- Nếu D là tập đối xứng (tức là $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$), ta thực hiện tiếp bước 2.

- Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là $\exists x\in D$ mà $-x\notin D$), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2: Xác định f(-x), khi đó:

- Nếu f(-x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn.

- Nếu f(-x) = - f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ.

- Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Dạng 2: Xét tính tuần hoàn, tìm chu kỳ của hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

- Xét tính tuần hoàn và chu kì bằng định nghĩa.

- Sử dụng các kết quả sau:

+ Hàm số y = sin(ax + b) là một hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{a}$.

+ Hàm số y = cos(ax + b) là một hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{a}$.

+ Hàm số y = tan(ax + b) là một hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{a}$.

+ Hàm số y = cot(ax + b) là một hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{a}$.

+ Nếu hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì T thì hàm số y = Af(x) (với A khác 0) tuần hoàn với chu kì T.

+ Nếu hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì T thì hàm số y = f(x) + c (c là hằng số) tuần hoàn với chu kì T.

+ Nếu hàm số y = f1(x); y = f2(x);… y = fn(x) tuần hoàn với chu kì lần lượt là T1; T2­; … Tn thì hàm số $y=f_1\left(x\right)\pm f_2\left(x\right)\pm \mathrm{...}\pm f_n\left(x\right)$ tuần hoàn với chu kì T là bội chung nhỏ nhất của T1; T2; … Tn.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết nhất

Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác và cách giải