Giải phương trình sau: 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan²x

Đáp án đúng: D

*Lời giải:

Điều kiện: cosx $\ne$0 (*)

Phương trình $\iff 5\sin x-2=3.\left(1-\mathrm{s}\text{inx}\right)\frac{{\sin }^{2}x}{{\text{cos}}^{2}x}$

$\iff 5\sin x-2=3.\left(1-\mathrm{s}\text{inx}\right)\frac{{\sin }^{2}x}{1-{\sin }^{2}x}$

$\iff 5\sin x-2=\frac{3{\sin }^{2}x}{1+\sin x}$

$\iff 2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{s}\text{inx}=\frac{1}{2}\left(TM\right)\\ \mathrm{s}\text{inx}=-2\left(L\right)\end{array}\right.$

Xét $\mathrm{s}\text{inx}=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn điều kiện (*))

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$.

*Phương pháp giải:

- đối với hàm tan và cot ta nên tìm điều kiện xác định trước

- dùng các công thức lượng giác biến đổi 2 vế của phương trình, giải và tìm ra nghiệm

*Lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình lượng giác cơ bản:

Phương trình cosx=a

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $\left|\text{cosx }\right|\le 1$ với mọi x.

- Trường hợp $\left|\text{\hspace{0.17em}a }\right|\le 1$.

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x=\pm \alpha +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Phương trình tanx=a

- Điều kiện xác định của phương trình là $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x=\arctan a+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

+) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: $x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+) Phương trình tanx = tanβ⁰ có các nghiệm là: $x={\beta }^0+k{.180}^0;k\in \mathbb{Z}$.

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f(x)=0\iff g(x)=0$

*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để đưa về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình. 

Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác

Định nghĩa.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at² + bt + c = 0

Trong đó a; b; c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11

Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản Toán 11

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án)– Toán 11