Chứng minh rằng \[\sqrt 2 \] là số vô tỉ.

*Phương pháp giải: Chứng minh bằng phương pháp giả thiết tạm \[\sqrt 2 \] có thể viết được dưới dạng \(\frac{m}{n}\). Chứng minh điều này là vô lí. Vậy \[\sqrt 2 \] không là số hữu tỉ mà là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử \[\sqrt 2 \] là số hữu tỉ.

Như vậy, \[\sqrt 2 \] có thể viết được dưới dạng \(\frac{m}{n}\) với m, n Î ℕ và (m, n) = 1.

Ta có \[\sqrt 2 = \frac{m}{n}\] nên \[{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( {\frac{m}{n}} \right)^2}\] hay \[2 = {\left( {\frac{m}{n}} \right)^2}\].

Suy ra m² = 2n².

Mà (m, n) = 1 nên m² chia hết cho 2 hay m chia hết cho 2.

Do đó m = 2k với k Î ℕ và (k, n) = 1.

Thay m = 2k vào m² = 2n² ta được 4k² = 2n² hay n² = 2k².

Do (k, n) = 1 nên n² chia hết cho 2 hay n chia hết cho 2.

Suy ra m và n đều chia hết cho 2 mâu thuẫn với (m, n) = 1.

Vậy \[\sqrt 2 \] không là số hữu tỉ mà là số vô tỉ.

* Một số lý thuyết liên quan:

1. Số vô tỉ

1.1 Khái niệm số vô tỉ

Trong đời sống thực tiễn của con người, ta thường gặp những số không phải là số hữu tỉ. Những số không phải là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.

1.2 Số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Những số thập phân vô hạn mà phần thập phân của nó không có một chu kì nào cả, những số đó được gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

1.3 Biểu diễn thập phân của số vô tỉ

Số vô tỉ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

2. Căn bậc hai số học

- Căn bậc hai số học của một số a không âm là số x không âm sao cho x² = a.

- Căn bậc hai số học của số a (a ≥ 0) được kí hiệu là $\sqrt{\mathrm{a}}$.

- Căn bậc hai số học của số 0 là số 0, viết là: $\sqrt{0}=0$.

Chú ý: Cho a ≥ 0. Khi đó: 

+  Đẳng thức $\sqrt{\mathrm{a}}$ = b là đúng nếu b ≥ 0 và b² = a.

+  ${\left(\sqrt{\mathrm{a}}\right)}^2=\mathrm{a}$.

Nhận xét: Nếu số nguyên dương a không phải là bình phương của bất kì số nguyên dương nào thì  $\sqrt{\mathrm{a}}$ là số vô tỉ.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết: 

TOP 20 câu Trắc nghiệm Số vô tỉ. Căn bậc hai số học (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

Sách bài tập Toán 7 Bài 1 (Cánh diều): Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

Số vô tỉ và khái niệm cơ bản về căn bậc hai và cách giải – Toán lớp 7