Câu hỏi:
14/08/2026 56Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH = a\sqrt 3 ,\,BC = 3a\), \(BC\) chứa trong mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(A'\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) (như hình vẽ bên). Biết tam giác \(A'BC\) vuông tại \(A'\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. \(\varphi = 60^\circ \).
B. \(\varphi = 45^\circ \).
C. \(\cos \varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
D. \(\varphi = 30^\circ \).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).
Vì \(A'\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(AA' \bot \left( {A'BC} \right)\).
Suy ra \(AA' \bot BC\).
Lại có \(AH \bot BC\) (do \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\)).
Do đó, \(BC \bot \left( {A'AH} \right)\). Suy ra \(A'H \bot BC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\A'H \bot BC,\,AH \bot BC\\A'H \subset \left( {A'BC} \right),\,AH \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'BC} \right)\) bằng góc \(AHA'\), tức là \(\varphi = \widehat {AHA'}\).
Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên \(H\) là trung điểm của \(BC\).
Lại có tam giác \(A'BC\) vuông tại \(A'\), do đó \(A'H = \frac{{BC}}{2} = \frac{{3a}}{2}\).
Tam giác \(A'AH\) vuông tại \(A'\) có \(\cos \widehat {AHA'} = \frac{{A'H}}{{AH}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(\cos \varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), tức là \(\varphi = 30^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).
Vì \(A'\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(AA' \bot \left( {A'BC} \right)\).
Suy ra \(AA' \bot BC\).
Lại có \(AH \bot BC\) (do \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\)).
Do đó, \(BC \bot \left( {A'AH} \right)\). Suy ra \(A'H \bot BC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\A'H \bot BC,\,AH \bot BC\\A'H \subset \left( {A'BC} \right),\,AH \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'BC} \right)\) bằng góc \(AHA'\), tức là \(\varphi = \widehat {AHA'}\).
Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên \(H\) là trung điểm của \(BC\).
Lại có tam giác \(A'BC\) vuông tại \(A'\), do đó \(A'H = \frac{{BC}}{2} = \frac{{3a}}{2}\).
Tam giác \(A'AH\) vuông tại \(A'\) có \(\cos \widehat {AHA'} = \frac{{A'H}}{{AH}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(\cos \varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), tức là \(\varphi = 30^\circ \).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
(1 điểm) Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = a,\,AC = a\sqrt 3 \), mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) tạo với đáy một góc \(30^\circ \). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
(1 điểm) Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = a,\,AC = a\sqrt 3 \), mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) tạo với đáy một góc \(30^\circ \). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Câu 2:
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau (tham khảo hình vẽ).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 3:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?Câu 5:
Cho đường thẳng \[a\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và \[a \subset \left( \beta \right)\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 6:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Khi đó góc giữa \(SB\) với mặt đáy là
Câu 7:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {x - 2} \right) \ge 1\) là
Câu 8:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\sqrt 2 ,\,AD = a\), \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\) (tham khảo hình vẽ).
Góc giữa \(SC\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng
Câu 10:
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy là \(2{a^2}\) và chiều cao \(3a\) là
Câu 11:
Cho ba số thực dương \(a,b,c\) khác \(1\). Đồ thị các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}\) được cho trong hình vẽ sau.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 12:
Biết phương trình \({4^x} - 9 \cdot {2^x} + 16 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1} + {x_2}.\)
Câu 13:
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
