Cho parabol (P): y² = 4x và 2 điểm A(0; -4) , B(-6; 4).Tìm điểm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC vuông tại A

Đáp án đúng là: A

Lời giải

Vì điểm C thuộc (P) nên C$\left(\frac{c^2}{4};c\right)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-6;8)$; $\overrightarrow{AC}=\left(\frac{c^2}{4};c+4\right)$

Theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 0

⇔ $-6.\frac{c^2}{4}+8(c+4)=0$

⇔ $\frac{-3}{2}{c}^2+8c+32=0$

⇔$\left[\begin{array}{l}c=8\\ c=\frac{-8}{3}\end{array}\right.$

Với c = 8 thì C(16; 8)

Với c = $\frac{-8}{3}$ thì C$\left(\frac{16}{9};\frac{-8}{3}\right)$

Vậy điểm C cần tìm có toạ độ là: C(16; 8) hoặc C$\left(\frac{16}{9};\frac{-8}{3}\right)$.

*Phương pháp giải:

Dựa vào các dữ kiện đề bài ta suy ra các yếu tố sau:

Parabol có tiêu điểm là F$\left(\frac{p}{2};0\right)$ và đường chuẩn Δ: $x=-\frac{p}{2}.$

Từ đó tìm được p, thay vào phương trình chính tắc của parabol là y² = 2px (p > 0).

*Lý thuyết:

- Khái niệm đường parabol: Một đường parabol là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn).

- Phương trình Parabol có dạng: $y=a{x}^2+bx+c$

- Gọi I là đỉnh của Parabol ta có $x_I=\frac{-b}{2a}$; $y_I=\frac{-\Delta }{4a}$ ( trong đó $\Delta =b^2-4ac$)

- Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) là:

f(x) = g(x).

- Gốc tọa độ có tọa độ là O(0; 0)

- Trục tung có phương trình: x = 0.

- Trục hoành có phương trình: y = 0

II. Các công thức

Cho parabol (P): $y=a{x}^2+bx+c$, ta có:

- Tọa độ đỉnh I của Parabol là I$\left(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a}\right)$ (trong đó $\Delta =b^2-4ac$)

- Tọa độ giao điểm A của Parabol $y=a{x}^2+bx+c$ với trục tung x = 0:

Thay x = 0 vào phương trình Parabol có:$y=c\Rightarrow$ A (0; c)

- Tọa độ giao điểm B của Parabol $y=a{x}^2+bx+c$ với trục hoành y = 0:

Hoành độ của B là nghiệm của phương trình $y=a{x}^2+bx+c$ (1)

Nếu phương trình (1) vô nghiệm $\Rightarrow$ không tồn tại điểm B

Nếu phương trình (1) có nghiệm kép $\Rightarrow$ Parabol tiếp xúc với trục hoành tại B$\left(\frac{-b}{2a};0\right)$

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Parabol cắt trục hoành tại hai điểm $B_1\left(\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};0\right)$ và $B_2\left(\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a};0\right)$

Xem thêm

Phương pháp giải tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ (2024) hay nhất

Bài tập Chuyên đề Parabol có đáp án