Cho mặt cầu S(O; 4) cố định. Hình nón (N) gọi là nội tiếp mặt cầu nếu hình nón (N) có đường tròn đáy và đỉnh thuộc mặt cầu S(O; 4) .Tính bán kính đáy r của (N) để khối nón (N) có thể tích lớn nhất.

Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y=x^2,y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$ và trục hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay  quanh trục hoành. 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+8x-4y+10z-4=0.$ Khi đó (S) có tâm I và bán kính R lần lượt là: 

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(4;m;2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(m-1;2;5\right).$ Tìm m để $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$.

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{u}\right|=2;\left|\overrightarrow{v}\right|=4,\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={60}^0.$ Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}.$ 

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3a. Cắt hình trụ bỏi một mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng $a\sqrt{5},$ ta được một thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích của khối trụ đã cho.

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S. Tính xác suất để số được chọn có đúng bốn chữ số lẻ và chữ số 0 có hai chữ số kề nó là chữ số lẻ.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $\mathrm{ℝ}$ là $f\text{'}\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+3\right).$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 2021] để hàm số $y=f\left(x^2+3x-m\right)$ đồng biến trên khoảng (0; 2) 

Tính chiều cao h của hình trụ biết chiều cao h bằng hai lần bán kính đáy và thể tích khối trụ bằng $54\pi .$

Trong không gian Oxyz cho ba điểm $M\left(4;-1;3\right),N\left(-5;11;8\right)$ và P(1; 3; m). Tìm m để M, N, P thẳng hàng.

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right),SA=\sqrt{7},AB=3,BC=3.$ Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:  

Trong không gian Oxyz cho ba điểm $A\left(1;4;-5\right),B\left(2;3;-6\right),C\left(4;4;-5\right).$ Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.