Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB sao cho $BH=2HA$ . Cạnh SC tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 60°. Khoảng cách từ trung điểm K của HC đến mặt phẳng (SCD)   bằng

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $3{\log }_3\left(x-1\right)-{\log }_{\frac{1}{3}}{\left(x-5\right)}^3=3$  bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=m^2{x}^4-\left(m^2-2020m\right)x^2+3$  có đúng một điểm cực trị?

Trên mặt phẳng (P) cho ba hình tròn bán kính a tâm là $O_1;O_2;O_3$  đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Ba hình tròn đó là ba đáy của ba hình nón mà các đỉnh tương ứng là ba điểm $S_1,S_2,S_3$  nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P) và cùng cách (P) một khoảng $2a\sqrt{2}$ . Mặt cầu tiếp xúc với $\left(S_1{S}_2{S}_3\right)$  và tiếp xúc ngoài với ba hình nón trên có bán kính bằng

Có tất cả bao nhiêu số nguyên $m\in \left(-2020;2020\right)$  để phương trình ${\log }_2\frac{3x^2+3x+m+1}{2x^2-x+1}=x^2-5x+2-m$

 có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$  thỏa mãn $x_1^3+x_2^3\ge 155$ ?

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AB' vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); góc giữa đường thẳng AA' với (ABCD) bằng 45°. Khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB' và DD' bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)$  và mặt phẳng $\left(C{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D\right)$  bằng 60°. Thể tích khối hộp đã cho bằng

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình 2f(x)-8=0 là

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và B'D' bằng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{\sqrt{m{\left(x-1\right)}^2+4}}$  có hai tiệm cận đứng

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Các khoảng nghịch biến của hàm số $y=2f\left(1-x\right)$  là

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,\left(a,b,c,d\in ℝ\right)$  thỏa mãn $a>0,d>2020$ , $a+b+c+d-2020<0$ . Số điểm cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x\right)-2020\right|$  là

Với a, b là hai số dương tùy ý. Khi đó $\ln \left(a^3{b}^2\right)$  có giá trị bằng

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$  có công bội $q>0,u_2=4,u_4=9$ , giá trị của $u_5$  bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại C,$\widehat{ABC}=60°$ , cạnh $BC=a$ , đường chéo AB' của mặt bên $\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$  tạo với mặt phẳng $\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$  một góc 30°. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  bằng

Diện tích hình phẳng phần màu xám của hình vẽ bên là

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $\left[-2;3\right]$  và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\left[-2;3\right]$ . Giá trị của $M^2-m$  bằng