Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB sao cho $BH=2HA$ . Cạnh SC tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 60°. Khoảng cách từ trung điểm K của HC đến mặt phẳng (SCD)   bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=m^2{x}^4-\left(m^2-2020m\right)x^2+3$  có đúng một điểm cực trị?

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $3{\log }_3\left(x-1\right)-{\log }_{\frac{1}{3}}{\left(x-5\right)}^3=3$  bằng

Trên mặt phẳng (P) cho ba hình tròn bán kính a tâm là $O_1;O_2;O_3$  đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Ba hình tròn đó là ba đáy của ba hình nón mà các đỉnh tương ứng là ba điểm $S_1,S_2,S_3$  nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P) và cùng cách (P) một khoảng $2a\sqrt{2}$ . Mặt cầu tiếp xúc với $\left(S_1{S}_2{S}_3\right)$  và tiếp xúc ngoài với ba hình nón trên có bán kính bằng

Có tất cả bao nhiêu số nguyên $m\in \left(-2020;2020\right)$  để phương trình ${\log }_2\frac{3x^2+3x+m+1}{2x^2-x+1}=x^2-5x+2-m$

 có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$  thỏa mãn $x_1^3+x_2^3\ge 155$ ?

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình 2f(x)-8=0 là

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AB' vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); góc giữa đường thẳng AA' với (ABCD) bằng 45°. Khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB' và DD' bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)$  và mặt phẳng $\left(C{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D\right)$  bằng 60°. Thể tích khối hộp đã cho bằng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và B'D' bằng

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Các khoảng nghịch biến của hàm số $y=2f\left(1-x\right)$  là

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{\sqrt{m{\left(x-1\right)}^2+4}}$  có hai tiệm cận đứng

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,\left(a,b,c,d\in ℝ\right)$  thỏa mãn $a>0,d>2020$ , $a+b+c+d-2020<0$ . Số điểm cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x\right)-2020\right|$  là

Với a, b là hai số dương tùy ý. Khi đó $\ln \left(a^3{b}^2\right)$  có giá trị bằng

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$  có công bội $q>0,u_2=4,u_4=9$ , giá trị của $u_5$  bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $\left[-2;3\right]$  và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\left[-2;3\right]$ . Giá trị của $M^2-m$  bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại C,$\widehat{ABC}=60°$ , cạnh $BC=a$ , đường chéo AB' của mặt bên $\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$  tạo với mặt phẳng $\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$  một góc 30°. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  bằng

Diện tích hình phẳng phần màu xám của hình vẽ bên là