Cho là các hàm số $f\left(x\right),g\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $\mathrm{ℝ}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Đáp án đúng: A

*Lời giải

Dễ thấy, theo tính chất tích phân thì đáp án B, C, D đúng.

Như vậy đáp án sai là đáp án A

*Phương pháp giải

Tính chất tích phân:

 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\pm \underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$,

 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\left(k\ne 0\right)$.

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài toán về tích phân, nguyên hàm:

Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

Ta còn dùng kí hiệu ${F\left(x\right)|}_a^b$ để chỉ hiệu số F(b) – F(a).

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=$${F\left(x\right)|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Ta gọi $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

- Chú ý. Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:

$\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0;$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$

- Nhận xét. a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ hay $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t.

Ý nghĩa hình học của tích phân. Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. Vậy $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

$\mathrm{Tính\; chất\; của\; tích\; phân.}$

Tính chất 3.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$$=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (a < c < b). 

Nguyên hàm.

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x\in K$.

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó $F\left(x\right)+C;C\in R$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

- Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx. 

Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

$\int f\text{'}\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C$

Ví dụ 3.

$\int \left(4^x\right)\text{'}dx$$=\int 4^x.\ln 4.dx=4^x+C$

- Tính chất 2.

$\int kf\left(x\right)dx=k.\int f\left(x\right)dx$(k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

$\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx$$=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Tích phân (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

50 Bài tập Ôn tập chương 3 Toán 12: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng mới nhất