Cho các số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ với mẫu dương, trong đó $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ .Chứng minh rằng :

a) ad < bc

b) $\frac{a}{b}<a+\frac{c}{b}+d<\frac{c}{d}$

Lời giải

${\displaystyle a)}$ Ta có:

${\displaystyle \frac{a}{d}<\frac{b}{c}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{a}{b}.\frac{d}{c}<\frac{c}{d}.\frac{d}{c}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{ad}{bc}<1}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{a}{d}<1.bc}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{a}{d}<\frac{b}{c}(đpcm)}$

${\displaystyle b)}$ Ta có: ${\displaystyle \frac{a}{d}<\frac{b}{c}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{a}{d}+\frac{a}{b}<\frac{b}{c}+\frac{a}{b}}$

${\displaystyle \Rightarrow a.(b+d)<b.(a+c)}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}\left(1\right)}$

Ta có: ${\displaystyle \frac{a}{d}<\frac{b}{c}}$

${\displaystyle \Rightarrow ad+cd<bc+cd}$

${\displaystyle \Rightarrow d.(a+c)<c.(b+d)}$

${\displaystyle \frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\left(2\right)}$

Từ ${\displaystyle \left(1\right)}$ và ${\displaystyle \left(2\right)\Rightarrow \frac{a}{b}<\frac{b}{c}+\frac{a}{b}<\frac{c}{d}(đpcm)}$

*Phương pháp giải:

a) Nhân vào cả hai vế với $\frac{d}{c}$

b) Cộng vào cả hai vế với $\frac{a}{b}$

*Lý thuyết:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) - c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a x b = b x a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a x 1 = 1 x a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a x (b + c) = a x b + a x c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a x (b – c) = a x b – a x c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b x c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a x b) : c = a : c x b = b : c x a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Xem thêm

Cách tính nhanh lớp 4 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ các số tự nhiên (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6