Cho a + 1 và 2a + 1 là các số chính phương. Chứng minh a chia hết cho 24.

Lời giải

Đặt a + 1 = x²; 2a + 1 = y²;

a phải chẵn vì 2a = y² – 1 = (y – 1)(y + 1) suy ra 2a chia hết cho 8 vì y – 1 và y + 1 là tích của 2 số chẵn liên tiếp

Vậy a chia hết cho 2. (1)

a = (x – 1)(x + 1) vì a là số chẵn nên suy ra a chia hết cho 8 do x – 1 và x + 1 là tích của 2 số chẵn liên tiếp (2)

Ta cần chứng minh x không chia hết cho 3.

Giả sử x chia hết cho 3 ⇒ x = 3k

2(a + 1) –1 = 2(x – 1)(x + 1) –1 = 2(9k² – 1) – 1 = 18k² – 3

⇒ 2a + 1 chia hết cho 3 vô lý vì ta có 2(a + 1) chia hết cho 3 nhưng – 1 không chia hết cho 3 ⇒ x không chia hết cho 3 hay hoặc x – 1, hoặc x + 1 chia hết cho 3.

Vậy x chia 3 dư 1 hoặc x chia 3 dư 2 mà x là số chính phương nên x chia 3 dư 1.

Khi đó: a = x² – 1 chia hết cho 3 hay a chia hết cho 3 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: a chia hết cho 24.

*Phương pháp giải:

Để kiểm tra một số có chia hết cho 24 hay không, ta cần kiểm tra các dấu hiệu sau:
- Số đó chia hết cho 3 và chia hết cho 8 (hoặc tương đương với chia hết cho 3 và chia hết cho 3 lần 8).

*Lý thuyết:

Dấu hiếu chia hết cho 2: Các số tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.

Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.

Dấu hiếu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.

Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.Để kiểm tra một số có chia hết cho 24 hay không, ta cần kiểm tra các dấu hiệu sau:
- Số đó chia hết cho 3 và chia hết cho 8 (hoặc tương đương với chia hết cho 3 và chia hết cho 3 lần 8).
- Số đó có chữ số cuối cùng là 0 và chữ số thứ hai từ cuối cùng là chẵn.
- Số đó chia hết cho 4 và chia hết cho 6 (hoặc tương đương với chia hết cho 2 lần 2 và chia hết cho 2 và chia hết cho 3).
Nếu một số thỏa mãn các dấu hiệu này thì số đó chia hết cho 24.

Xem thêm

50 bài tập Dấu hiệu chia hết lớp 4 và cách giải 

Lý thuyết Dấu hiệu chia hết chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức