Cắt một khối nón tròn xoay có thể tích V thành hai phần bằng một mặt phẳng (P) song song với đáy (như hình vẽ). Tính thể tích khối nón cụt tạo thành, biết mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của đường cao SO.

Mặt cầu có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y - 2z - 6 = 0 có phương trình là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang  cân, AD = 2AB = 2CD = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)  cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt  là trung điểm của SB và CD (tham khảo hình vẽ bên). Tính  sin góc giữa MN và (SAC), biết thể tích khối chóp S.ABCD  bằng $\frac{{\mathrm{a}}^3\sqrt{3}}{4}$.

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 21. Xác suất để số được chọn là số chia hết cho 3 bằng

Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm của phương trình f(x) + 1 = 0 là

Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên 5 tấm thẻ. Xác suất trong 5 tấm được chọn có 3 tấm mang số lẻ, 3 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có ít nhất một tấm thẻ mang số chia hết cho 4 là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2-2\mathrm{x}+6\mathrm{y}+8\mathrm{z}-599=0$. Biết rằng mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha }\right):6\mathrm{x}-2\mathrm{y}+3\mathrm{z}+49 = 0$ cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm là điểm P (a;b;c) và bán kính đường tròn (C) là r. Giá trị của tổng S = a + b + c + r là 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):$(\mathrm{x}-1{)}^2+(\mathrm{y}-2{)}^2+(\mathrm{z}-3{)}^2=81$. Mặt phẳng tiếp xúc (S) tại điểm P(-5;-4;6) là:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (H) là tập hợp điểm biểu diễn số phức $\mathrm{w}=(1+\sqrt{3} \mathrm{i})\mathrm{z}+2$ thỏa mãn $|z-1|\le 2$. Tính diện tích của hình (H). 

Cho các số phức z thỏa mãn $|\mathrm{z}-\mathrm{i}|=5$. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w = iz + 1 - i là đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. 

Cho hình chóp S.ABC có SA$\perp$(ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2a và SA = a. Gọi M là trung điểm của SB. Tính thể tích khối chóp S.AMC.  

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{3}({\mathrm{m}}^2-1){\mathrm{x}}^3+(\mathrm{m}-1){\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+3$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$?  

Biết rằng đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}}$ và đồ thị hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1$ cắt nhau tại hai điểm, kí hiệu  $(x_1;y_1),(x_2;y_2)$ là tọa độ hai điểm đó. Tính $y_1+y_2.$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuống góc với SA. Tính thể tích V của khối chóp S.BDM?

Trong không gian Oxyz, cho điểm B(4;2;-3) và mặt phẳng (Q): -2x + 4y + z - 7 = 0. Gọi B' là điểm đối xứng với B qua mặt phẳng (Q). Tính khoẳng cách từ B' đến (Q).

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3), B(6;5;5). Gọi (S) là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có thể tích lớn nhất, biết rằng (P): 2x + by + cz + d = 0 với b, c, d ∈ Z. Tính S = b + c + d.