Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 21. Xác suất để số được chọn là số chia hết cho 3 bằng

Mặt cầu có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y - 2z - 6 = 0 có phương trình là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang  cân, AD = 2AB = 2CD = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)  cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt  là trung điểm của SB và CD (tham khảo hình vẽ bên). Tính  sin góc giữa MN và (SAC), biết thể tích khối chóp S.ABCD  bằng $\frac{{\mathrm{a}}^3\sqrt{3}}{4}$.

Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm của phương trình f(x) + 1 = 0 là

Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên 5 tấm thẻ. Xác suất trong 5 tấm được chọn có 3 tấm mang số lẻ, 3 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có ít nhất một tấm thẻ mang số chia hết cho 4 là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2-2\mathrm{x}+6\mathrm{y}+8\mathrm{z}-599=0$. Biết rằng mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha }\right):6\mathrm{x}-2\mathrm{y}+3\mathrm{z}+49 = 0$ cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm là điểm P (a;b;c) và bán kính đường tròn (C) là r. Giá trị của tổng S = a + b + c + r là 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):$(\mathrm{x}-1{)}^2+(\mathrm{y}-2{)}^2+(\mathrm{z}-3{)}^2=81$. Mặt phẳng tiếp xúc (S) tại điểm P(-5;-4;6) là:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (H) là tập hợp điểm biểu diễn số phức $\mathrm{w}=(1+\sqrt{3} \mathrm{i})\mathrm{z}+2$ thỏa mãn $|z-1|\le 2$. Tính diện tích của hình (H). 

Cho các số phức z thỏa mãn $|\mathrm{z}-\mathrm{i}|=5$. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w = iz + 1 - i là đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. 

Cho hình chóp S.ABC có SA$\perp$(ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2a và SA = a. Gọi M là trung điểm của SB. Tính thể tích khối chóp S.AMC.  

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{3}({\mathrm{m}}^2-1){\mathrm{x}}^3+(\mathrm{m}-1){\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+3$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$?  

Biết rằng đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}}$ và đồ thị hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1$ cắt nhau tại hai điểm, kí hiệu  $(x_1;y_1),(x_2;y_2)$ là tọa độ hai điểm đó. Tính $y_1+y_2.$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuống góc với SA. Tính thể tích V của khối chóp S.BDM?

Trong không gian Oxyz, cho điểm B(4;2;-3) và mặt phẳng (Q): -2x + 4y + z - 7 = 0. Gọi B' là điểm đối xứng với B qua mặt phẳng (Q). Tính khoẳng cách từ B' đến (Q).

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3), B(6;5;5). Gọi (S) là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có thể tích lớn nhất, biết rằng (P): 2x + by + cz + d = 0 với b, c, d ∈ Z. Tính S = b + c + d.

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3-5{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x} , \mathrm{y}=2{\mathrm{x}}^2$ (phần tô màu). Tính diện tích hình phẳng (H).