Biểu thức F = y – x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện $\left\{\begin{array}{c}-2x+y\le -2\\ x-2y\le 2\\ x+y\le 5\\ x\ge 0\end{array}\right.$ tại điểm có toạ độ là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}-2x+y\le -2\\ x-2y\le 2\\ x+y\le 5\\ x\ge 0\end{array}\right.$  trên hệ trục tọa độ

+ Ta vẽ đường thẳng d₁: – 2x + y = – 2, đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; – 2) và (1; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có – 2.0 + 0 = 0 > – 2, điểm O(0; 0) không thoả mãn bất phương trình – 2x + y ≤ – 2, vậy điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₁ và không chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

+ Ta vẽ đường thẳng d₂: x – 2y = 2, đường thẳng d₂ đi qua hai điểm (0; – 1) và (2; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 2.0 = 0 < 2, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình x – 2y ≤ 2, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₂ và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

+ Ta vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5, đường thẳng d₃ đi qua hai điểm (0; 5) và (5; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₃ và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

+ x ≥ 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

Miền nghiệm là phần không bị gạch trong hình dưới đây (kể cả bờ).

Nhận thấy biểu thức F = y – x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B hoặc C, với$A\left(\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)$ ,$B\left(\frac{7}{3};\frac{8}{3}\right)$, C(4; 1).

Ta có

F(x; y) = y – x suy ra F  = $\left(\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)=-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$

F(x; y) = y – x suy ra F = $\left(\frac{7}{3};\frac{8}{3}\right)=\frac{8}{3}-\frac{7}{3}=\frac{1}{3}$

F(x; y) = y – x suy ra F(4; 1) = 1 – 4 = – 3.

Vậy F = y – x đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 3 tại điểm có toạ độ (4; 1).