Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi x (m²) là diện tích của hồ bơi và y (m²) là diện tích của vườn hoa (0 < x, y < 200).

Diện tích lối đi là 200 − x − y (m²).

Vì diện tích lối đi tối thiếu là 50 m² nên ta có bất phương trình:

200 − x − y ≥ 50 (*).

+ Thay cặp số (100; 70) vào bất phương trình (*) ta được

200 − 100 − 70 = 30 < 50, không thỏa mãn.

+ Thay cặp số (100; 60) vào bất phương trình (*) ta được

200 − 100 − 60 = 40 < 50, không thỏa mãn.

+ Thay cặp số (90; 80) vào bất phương trình (*) ta được

200 − 90 − 80 = 30 < 50, không thỏa mãn.

+ Thay cặp số (100; 40) vào bất phương trình (*) ta được

200 − 100 − 40 = 60 ≥ 50, thỏa mãn.

Vậy diện tích của hồ bơi và vườn hoa lần lượt là 100 m² và 40 m².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x (giờ) là số giờ sử dụng đèn trong 1 ngày và y (giờ) là số giờ sử dụng máy lạnh trong 1 ngày (x, y ≥ 0)

0,5x . 3 . 30 (nghìn đồng) là số tiền phải trả khi sử dụng đèn trong 1 tháng.

y . 2 . 30 (nghìn đồng) là số tiền phải trả khi sử dụng máy lạnh trong 1 tháng.

Ta có: 1 triệu = 1 000 nghìn đồng.

Để tổng số tiền điện trong một tháng ít hơn 1 triệu đồng thì :

0,5x . 3 . 30 + y . 2 . 30 < 1000 ⇔ 45x + 60y < 1000 (*).

Thay cặp số 15 giờ và 5 giờ vào bất phương trình trên ta được

45 . 15 + 60 . 5 = 975 < 1000, thỏa mãn.

Vậy có thể sử dụng đèn 15 giờ/ngày và sử dụng máy lạnh 5 giờ/ngày để tiền điện phải trả trong 1 tháng nhỏ hơn 1 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trong mặt phẳng Oxy kẻ đường thẳng d₁ : x + 2y − 10 = 0, d₂ : y = 4.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC (kể cả biên) được tô đậm như hình vẽ.

Xét các đỉnh của miền khép kín được tạo bởi hệ là: O(0; 0), A(0; 4), B(2; 4), C(10; 0)

Ta có : G(x; y) = 10x + 20y

Khi đó: $\left\{\begin{array}{c}G(0;0)=0\\ G(0;4)=80\\ G(2;4)=100\\ G(10;0)=100\end{array}\right.$ ⇒ G_max = 100.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y (cái) lần lượt là số áo và số quần mà xưởng cần sản xuất (x, y ∈ ℕ).

Khi đó ta có:

x + 3y (giờ) là thời gian hoạt động của máy I;

2x + 4y (giờ) là thời gian hoạt động của máy II;

3x + 2y (giờ) là thời gian hoạt động của máy III.

Số tiền lãi của nhà máy L = 200x + 300y (nghìn đồng).

Do máy I chỉ hoạt động không quá 50 giờ, máy II hoạt động không quá 70 giờ và máy III hoạt động không quá 48 giờ nên ta có hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$ .

Khi đó bài toán trở thành tìm số tự nhiên x, y thỏa hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$  để L = 200x + 300y đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$  với x ≥ 0; y ≥ 0.

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác OABCD (kể cả biên) với O(0; 0),$A\left(0;\frac{50}{3}\right)$ , B(5; 15),$C\left(\frac{13}{2};\frac{57}{4}\right)$ , D(16; 0).

L lớn nhất tại các đỉnh của ngũ giác OABCD, do x, y ∈ ℕ nên ta chỉ cần tính giá trị của L tại các đỉnh O, B, D và so sánh.

Ta có:

L(0; 0) = 0, L(5; 15) = 5500, L(16; 0) = 3200.

Do đó, L_max  = 5500 tại x = 5 và y = 15.

Vậy phải sản xuất 5 cái áo và 15 cái quần để lợi nhuận lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}-2x+y\le -2\\ x-2y\le 2\\ x+y\le 5\\ x\ge 0\end{array}\right.$  trên hệ trục tọa độ

+ Ta vẽ đường thẳng d₁: – 2x + y = – 2, đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; – 2) và (1; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có – 2.0 + 0 = 0 > – 2, điểm O(0; 0) không thoả mãn bất phương trình – 2x + y ≤ – 2, vậy điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₁ và không chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

+ Ta vẽ đường thẳng d₂: x – 2y = 2, đường thẳng d₂ đi qua hai điểm (0; – 1) và (2; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 2.0 = 0 < 2, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình x – 2y ≤ 2, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₂ và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

+ Ta vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5, đường thẳng d₃ đi qua hai điểm (0; 5) và (5; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₃ và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

+ x ≥ 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

Miền nghiệm là phần không bị gạch trong hình dưới đây (kể cả bờ).

Nhận thấy biểu thức F = y – x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B hoặc C, với$A\left(\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)$ ,$B\left(\frac{7}{3};\frac{8}{3}\right)$, C(4; 1).

Ta có

F(x; y) = y – x suy ra F  = $\left(\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)=-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$

F(x; y) = y – x suy ra F = $\left(\frac{7}{3};\frac{8}{3}\right)=\frac{8}{3}-\frac{7}{3}=\frac{1}{3}$

F(x; y) = y – x suy ra F(4; 1) = 1 – 4 = – 3.

Vậy F = y – x đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 3 tại điểm có toạ độ (4; 1).