Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng $a^2$ chia cho 5 dư 1.

*Lời giải

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: $a^2$ = ${\left(5k+4\right)}^2$

      = 25$k^2$ + 40k + 16

      = 25$k^2$ + 40k + 15 + 1

      = 5(5$k^2$ + 8k +3) +1

Ta có: 5 ⋮ 5 nên 5(5$k^2$ + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy $a^2$ = ${\left(5k+4\right)}^2$ chia cho 5 dư 1. (đpcm)

*Phương pháp giải:

Gọi số tự nhiên a chia hết cho 5 dư 4 là 5k + 4 

Tính a^2. Biến đổi và nhận xét 

* Lý thuyết và các dạng bài về quan hệ chia hết - tính chất chia hết

Khái niệm về chia hết

Cho hai số tự nhiên a và b $\left(b\ne 0\right)$.

Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b . q thì ta nói a chia hết cho b. Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a.

Lưu ý:

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b bằng 0 thì a chia hết cho b, kí hiệu là $a⋮b$ .

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b khác 0 thì a không chia hết cho b, kí hiệu là $a\cancel{⋮}b$.

Cách tìm bội của một số

Để tìm các bội của $n\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ ta có thể lần lượt nhân n với 0, 1, 2, 3, …. Khi đó, các kết quả nhận được đều là bội của n.

Cách tìm ước của một số

Để tìm các ước của số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có thể lần lượt chia n cho các số tự nhiên từ 1 đến n. Khi đó, các phép chia hết cho ta số chia là ước của n.

Tính chất chia hết của một tổng

Tổng quát: Nếu tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

Cụ thể đối với tổng 2 số hạng:

Nếu $a⋮m$ và $b⋮m$ thì $\left(a+b\right)⋮m$ .

Khi đó ta có: (a + b) : m = a : m + b : m.

Tính chất chia hết của một hiệu

Tổng quát: Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho cùng một số thì hiệu chia hết cho số đó.

Cụ thể: Với $a\ge b$:

Nếu $a⋮m$ và $b⋮m$ thì$\left(a-b\right)⋮m$.

Khi đó ta có: (a – b) : m = a : m – b : m.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Trắc nghiệm Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết (Cánh diều) có đáp án - Toán 6