Biết a,b thuộc Z thỏa mãn a^2-ab+b^2 chia hết cho 9. Chứng minh a chia hết cho 3, b chia hết cho 3.

Lời giải

Do $a$ chia hết cho 3 nên $a=3m$ với $m$ là một số tự nhiên nào đó

TH1: $b$ chia 3 dư 1.

Vậy $b=3n+1$ với $n$ là một số tự nhiên nào đó.

Khi đó, biểu thức trên trở thành

$a^2-ab+b^2=(3m{)}^2-3m.(3n+1)+(3n+1{)}^2$

$=9m^2-9mn-3m+9n^2+6n+1$

$=9m^2-9mn+9n^2+6n-3m+1$

$=3(3m^2-3mn+3n^2+2n-m)+1$

Vậy $a^2-ab+b^2$ chia 3 dư 1, tức là ko chia hết cho 3. Do đó ko chia hết cho 9. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

TH1: $b$ chia 3 dư 2.

Vậy $b=3n+2$ với $n$ là một số tự nhiên nào đó.

Khi đó, biểu thức trên trở thành

$a^2-ab+b^2=(3m{)}^2-3m.(3n+2)+(3n+2{)}^2$

$=9m^2-9mn-6m+9n^2+12n+4$

$=9m^2-9mn+9n^2+12n-6m+3+1$

$=3(3m^2-3mn+3n^2+4n-2m+1)+1$

Vậy $a^2-ab+b^2$ chia 3 dư 1, tức là ko chia hết cho 3. Do đó ko chia hết cho 9. Điều này cũng mâu thuẫn với giả thiết.

Ở cả 2 trường hợp, điều giả sử đều mâu thuẫn vs giả thiết, do đó $b$ phải chia hết cho 3.

Vậy $a$ và $b$ đều chia hết cho 3.

*Phương pháp giải:

Giả sử phản chứng rằng hoặc a hoặc b ko chia hết cho 3.

Ta thấy vai trò của $a$ và $b$ là giống nhau, nên ta có thể giả sử $a$ chia hết cho 3 và b ko chia hết cho 3. Khi đó b chia 3 dư 1 hoặc dư 2.

Do $a$ chia hết cho 3 nên $a=3m$ với $m$ là một số tự nhiên nào đó

*Lý thuyết:

1. Khái niệm về chia hết

Cho hai số tự nhiên a và b $\left(b\ne 0\right)$.

Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b . q thì ta nói a chia hết cho b.

Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a.

Lưu ý:

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b bằng 0 thì a chia hết cho b, kí hiệu là $a⋮b$ .

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b khác 0 thì a không chia hết cho b, kí hiệu là $a\cancel{⋮}b$.

Lưu ý: Với a là số tự nhiên khác 0 thì:

+ a là ước của a;

+ a là bội của a;

+ 0 là bội của a;

+ 1 là ước của a.

2. Cách tìm bội và ước của một số

2.1 Cách tìm bội của một số

Để tìm các bội của $n\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ ta có thể lần lượt nhân n với 0, 1, 2, 3, …. Khi đó, các kết quả nhận được đều là bội của n.

2.2 Cách tìm ước của một số

Để tìm các ước của số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có thể lần lượt chia n cho các số tự nhiên từ 1 đến n. Khi đó, các phép chia hết cho ta số chia là ước của n.

Xem thêm

Lý thuyết Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết (Cánh diều ) có đáp án - Toán 6