Với a ≥ 0 và b ≥ 0, chứng minh

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữ phép chia và phép khai phương

Bài 45 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với a ≥ 0 và b ≥ 0, chứng minh $\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$

Lời giải:

Vì a ≥ 0 nên $\sqrt{a}$ xác định,

b ≥ 0 nên $\sqrt{b}$ xác định

Ta có: ($\sqrt{a}$ - $\sqrt{b}$ )² ≥ 0

⇒ a - 2$\sqrt{ab}$ + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2$\sqrt{ab}$

⇒ a + b + a + b ≥ a + b + 2$\sqrt{ab}$

⇒ 2(a + b) ≥  ${\left(\sqrt{a}\right)}^2$ + 2$\sqrt{ab}$ + ${\left(\sqrt{b}\right)}^2$

$$\begin{gathered} \iff 2\left(a+b\right)\ge {\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2 \\ \iff \frac{a+b}{2}\ge \frac{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{\frac{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}{4}} \\ \iff \sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2} \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 36 trang 10 SBT Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc khai phương, hãy tính...

Bài 37 trang 11 SBT Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính...

Bài 38 trang 11 SBT Toán 9 Tập 1: Cho các biểu thức...

Bài 39 trang 11 SBT Toán 9 Tập 1: Biểu diễn $\sqrt{\frac{a}{b}}$ với a < 0, b < 0...

Bài 40 trang 11 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức...

Bài 41 trang 11 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức...

Bài 42 trang 12 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức với điều kiện đã cho của x rồi tính giá trị của nó...

Bài 43 trang 12 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm x thỏa mãn điều kiện...

Bài 44 trang 12 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai số a, b, không âm...

Bài 46 trang 12 SBT Toán 9 Tập 1: Với a dương...

Bài 4.1 trang 12 SBT Toán 9 Tập 1: Giá trị của $\sqrt{\frac{49}{0,09}}$ bằng...