Trong HĐ7, bằng cách xét tam giác vuông OIA và tính tỉ số IA/OA

Giải Chuyên đề Toán 11 Kết nối tri thức Bài 11: Hình chiếu vuông góc và hình chiếu trục đo

Bài 3.10 trang 66 Chuyên đề Toán 11: Trong HĐ7, bằng cách xét tam giác vuông OIA và tính tỉ số $\frac{IA}{OA}$ , chứng minh rằng trong phép chiếu trục đo vuông góc đều thì p = q = r = $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: O.ABC là hình chóp tam giác đều nên OA = OB = OC. 

Vì I là tâm tam giác đều ABC nên . (1)

Tam giác OBC vuông cân tại O nên OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến.

Suy ra $OM=\frac{1}{2}BC$  hay 2OM = BC.

Tam giác vuông cân OBC có 2OB² = BC².

Do đó: 2OB² = 4OM². Suy ra OM² = $\frac{1}{2}$ OA². (2)

Tam giác OIM vuông tại I có: OI² + IM² = OM². (3)

Mà OI² = OA² – IA² (tam giác OIA vuông tại I) (4)

Thay (1), (2), (4) vào (3) ta được: $O{A}^2-I{A}^2+\frac{1}{4}I{A}^2=\frac{1}{2}O{A}^2$ .

Suy ra $\frac{I{A}^2}{O{A}^2}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{IA}{OA}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Mà IA = O'A' (do AIO'A' là hình bình hành).

Do đó, p = q = r = $\frac{O\text{'}A\text{'}}{OA}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ .