Tính các giá trị lượng giác của góc anpha, nếu

Giải Toán 10 Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung

Video Giải Bài 4 trang 148 Toán lớp 10 Đại số

Bài 4 trang 148 Toán lớp 10 Đại số: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, nếu

a) $\cos \alpha =\frac{4}{13}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$;

b) $\sin \alpha =-0,7$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$;

c) $\tan \alpha =-\frac{15}{7}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

d) $\cot \alpha =-3$ và $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$.

Lời giải:

a) Do $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha >0$

Ta có:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$

$=1-{\left(\frac{4}{13}\right)}^2=\frac{153}{169}$

$\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{\frac{153}{169}}=\frac{3\sqrt{17}}{13}$

Suy ra:

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3\sqrt{17}}{13}:\frac{4}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{4}$

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{4}{13}:\frac{3\sqrt{17}}{13}=\frac{4\sqrt{17}}{51}$

b) Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}\text{ nên }\cos \alpha <0$

Ta có:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$

$=1-{(-0,7)}^2=0,51$

$\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{\sqrt{51}}{10}$

Suy ra:

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-0,7}{-\frac{\sqrt{51}}{10}}=\frac{7}{\sqrt{51}}$

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{151}}{10}}{-0,7}=\frac{\sqrt{51}}{7}$

c) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\sin \alpha >0, \cos \alpha <0,$$\tan \alpha <0, c\mathrm{ot}\alpha <0$

Ta có:

$\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$

$\Rightarrow \cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{15}{7}}=-\frac{7}{15}$

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha$

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }$

$=\frac{1}{1+{\left(-\frac{15}{7}\right)}^2}=\frac{49}{274}$

$\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{7}{\sqrt{274}}$

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

$\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha \cdot \cos \alpha$

$=-\frac{15}{7}\cdot \left(-\frac{7}{\sqrt{274}}\right)=\frac{15}{\sqrt{274}}$

d) Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\sin \alpha <0, \cos \alpha >0,$$t\mathrm{an}\alpha <0, \cot \alpha <0$

Ta có:

$\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$

$\Rightarrow \tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha$

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }$

$=\frac{1}{1+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{9}{10}$

$\Rightarrow \cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}}$

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

$\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha \cdot \cos \alpha$

$\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 141 Toán 10 Đại số: Nhắc lại khái niệm giá trị lượng giác...

Hoạt động 2 trang 142 Toán 10 Đại số: Tính...

Hoạt động 3 trang 143 Toán 10 Đại số: Từ định nghĩa sinα và cosα...

Hoạt động 4 trang 145 Toán 10 Đại số: Từ ý nghĩa hình học của tanα và cotα...

Hoạt động 5 trang 145 Toán 10 Đại số: Từ định nghĩa của sinα và cosα...

Hoạt động 6 trang 148 Toán 10 Đại số: Tính cos($\frac{-11\pi }{4}$)...

Bài 1 trang 148 Toán 10 Đại số: Có cung α nào mà sin α nhận...

Bài 2 trang 148 Toán 10 Đại số: Các đẳng thức sau có thể đồng...

Bài 3 trang 148 Toán 10 Đại số: Cho 0<α<$\frac{\pi }{2}$. Xác định dấu...

Bài 5 trang 148 Toán 10 Đại số: Tính α, biết...