Tìm phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’ (Hình 1)

Giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 5: Phép quay

Khám phá 1 trang 25 Chuyên đề Toán 11:

a) Tìm phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’ (Hình 1).

b) Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định (Hình 2).

Gọi f là quy tắc ứng với mỗi điểm M trùng O cho ta điểm O và ứng với điểm M khác O cho ta một điểm M’ xác định như sau:

– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.

– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng 60°.

Quy tắc f có phải là một phép biến hình không?

Hãy vẽ điểm M’ theo quy tắc trên nếu thay góc 60° bởi góc –30°.

Lời giải:

a) Để tìm phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’, ta tìm phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’, biến điểm C thành điểm C’.

Với A(–7; 4), B(–2; 3), C(–5; 0), A’(–3; –2), C’(1; 0), ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\left(-5;1\right),\overrightarrow{{\mathrm{BA}}^{\text{'}}}=\left(-1;-5\right),\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}=\left(4;-6\right)$.

Suy ra $\mathrm{BA}={\mathrm{BA}}^{\text{'}}=\sqrt{26}$ và ${\mathrm{AA}}^{\text{'}}=2\sqrt{13}$.

Khi đó $\cos \widehat{{\mathrm{ABA}}^{\text{'}}}=\frac{{\mathrm{BA}}^2+B{A^{\text{'}}}^2-A{A^{\text{'}}}^2}{2.\mathrm{BA}.{\mathrm{BA}}^{\text{'}}}=\frac{26+26-{\left(2\sqrt{13}\right)}^2}{2.\sqrt{26}.\sqrt{26}}=0$.

Vì vậy $\left(\mathrm{BA},{\mathrm{BA}}^{\text{'}}\right)=\widehat{{\mathrm{ABA}}^{\text{'}}}=90°$.

Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BA thành đoạn thẳng BA’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm A thành điểm A’ sao cho BA’ = BA và góc lượng giác (BA, BA’) = 90° (1)

Thực hiện tương tự, ta được $\mathrm{BC}={\mathrm{BC}}^{\text{'}}=3\sqrt{2}$ và $\left(\mathrm{BC},{\mathrm{BC}}^{\text{'}}\right)=90°$.

Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BC thành đoạn thẳng BC’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm C thành điểm C’ sao cho BC’ = BC và góc lượng giác (BC, BC’) = 90° (2)

Từ (1), (2), ta thu được phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’ là phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’ sao cho BA’ = BA và góc lượng giác (BA, BA’) = 90° và biến điểm C thành điểm C’ sao cho BC’ = BC và góc lượng giác (BC, BC’) = 90°.

b) Đặt f(M) = M’. Trong đó, M’ là điểm nằm trên (C) sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng 60°.

Ta thấy f là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M đều xác định duy nhất một điểm M’.

Vậy f là một phép biến hình.

Cách vẽ điểm M’ theo quy tắc trên với góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°:

– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.

– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°.

Ta có hình vẽ sau: