25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Câu 1:

23/07/2024

Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có dộ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

A.

\frac{a^{3}}{6}

B.

\frac{a^{3}}{3}

C.

\frac{a^{3}}{4}

D.

\frac{a^{3}}{8}

Xem đáp án

Ta có:

$S_{Δ B C D} = \frac{1}{2} S_{A B C D} = \frac{1}{2} a^{2}$

$V_{S . B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{B C D}$

$= \frac{1}{3} a . \frac{1}{2} a^{2} = \frac{a^{3}}{6}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

20/07/2024

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, cạnh bên SC = 3a và SC vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:

A.

\frac{3 a^{3}}{2}

B.

a^{3}

C.

\frac{a^{3}}{2}

D.

3 a^{3}

Xem đáp án

Ta có:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A B^{2} = \frac{1}{2} a^{2}$

$\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S C . S_{A B C}$

$= \frac{1}{3} .3 a . \frac{1}{2} a^{2} = \frac{1}{2} a^{3}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3:

13/07/2024

Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

A.

V = S h

B.

V = \frac{1}{2} S h

C.

V = \frac{1}{3} S h

D.

V = \frac{1}{6} S h

Xem đáp án

Công thức tính thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3} S h$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4:

20/07/2024

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’. Thể tích khối đa diện có các đỉnh M, P, Q, E, F, N bằng:

A.

\frac{V}{4}

B.

\frac{V}{2}

C.

\frac{V}{6}

D.

\frac{V}{3}

Xem đáp án

Đặc biệt hóa, coi ABCD.A’B’C’D’ là khối lập phương cạnh bằng 1

$\Rightarrow V_{A B C D . A' B' C' D'} = 1 = V$

Dễ thấy PQEFNM là khối bát diện đều cạnh

$Q E = \frac{1}{2} B D = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy

$V_{P Q E F N M} = \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} \sqrt{2}}{3} = \frac{1}{6} = \frac{V}{6}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5:

20/07/2024

Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Khi đó:

A.

\frac{V_{S . A' B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A'}{S A} + \frac{S B'}{S B} + \frac{S C'}{S C}

B.

\frac{V_{S . A B C}}{V_{S . A' B' C'}} = \frac{S A'}{S A} . \frac{S B'}{S B} . \frac{S C'}{S C}

C.

\frac{V_{S . A' B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A'}{S A} = \frac{S B'}{S B} = \frac{S C'}{S C}

D.

\frac{V_{S . A' B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A'}{S A} . \frac{S B'}{S B} . \frac{S C'}{S C}

Xem đáp án

Nếu A’, B’, C’ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC của hình chóp tam giác S.ABC thì:

$\frac{V_{S . A' B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A'}{S A} . \frac{S B'}{S B} . \frac{S C'}{S C}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

23/07/2024

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

A.

a^{3}

B.

3 a^{3}

C.

\frac{a^{3}}{3}

D.

2 a^{3}

Xem đáp án

Thể tích khối chóp đã cho là:

$V_{S A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D}$

$= \frac{1}{3} .3 a . a^{2} = a^{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 7:

16/07/2024

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại C,

A' C = a \sqrt{5}, B C = a, \hat{A C B} = 45 °

. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:

A.

a^{3} \sqrt{3}

B.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}

C.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}

D.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

Xem đáp án

Ta có: $Δ A B C$ cân tại C

$\Rightarrow A C = B C = a$

$\Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} A C . B C . \sin C$

$= \frac{1}{2} . a . a . s i n 45 °$

$= \frac{1}{2} a^{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}$

Áp dụng định lí Pitago cho $Δ A A' C$ vuông tại A ta có:

$A A' = \sqrt{A' C^{2} - A C^{2}}$

$= \sqrt{5 a^{2} - a^{2}} = 2 a$

$\Rightarrow V_{A B C . A' B' C'} = A A' . S_{A B C}$

$= 2 a . \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

21/07/2024

Nếu khối chóp OABC thỏa mãn

O A = a, O B = b, O C = c

và

O A ⊥ O B, O B ⊥ O C, O C ⊥ O A

thì có thể tích là:

A. abc

B.

\frac{a b c}{3}

C.

\frac{a b c}{2}

D.

\frac{a b c}{6}

Xem đáp án

Thể tích khối đa diện OABC là:

$V_{O A B C} = \frac{1}{6} a b c$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9:

23/07/2024

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết

S A = B C = a

, thể tích khối chóp S.ABC bằng:

A.

\frac{a^{3}}{6}

B.

\frac{a^{3}}{12}

C.

\frac{a^{3}}{24}

D.

\frac{a^{3}}{3}

Xem đáp án

Ta có tam giác ABC vuông cân tại A và

$B C = a \Rightarrow A B = A C = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Khi đó:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C$

$= \frac{1}{2} . \frac{a}{\sqrt{2}} . \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^{2}}{4}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B C}$

$= \frac{1}{3} . a . \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{3}}{12}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10:

13/07/2024

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

B. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

D. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

Xem đáp án

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật:

$S_{t p} = S_{x q} + 2 a b = 2 h (a + b) + 2 a b$

Thể tích hình hộp chữ nhật:

V = abh

Thể tích của lăng trụ là:

$V = S_{d} . h$

Diện tích toàn phần của khối lập phương:

$S_{t p} = 6 a^{2}$

Thể tích của khối lập phương:

$V = a^{3}$

Thể tích khối chóp là:

$V = \frac{1}{3} S_{d} . h$

Do đó các đáp án B, C, D đúng, chỉ có A sai.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

15/07/2024

Một khối chóp tam giác có cạnh đáy bằng 6, 8, 10. Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với đáy một góc

60 °

. Thể tích của khối chóp đó là:

A. 16

B.

8 \sqrt{3}

C.

48 \sqrt{3}

D.

16 \sqrt{3}

Xem đáp án

Xét tam giác ABC, giả sử

$A B = 6, B C = 8, A C = 10$

ta có: $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2} (= 100)$

nên tam giác ABC vuông tại B (định lí Pitago)

$\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . B C = \frac{1}{2} .6.8 = 24$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) và giả sử SA hợp với đáy góc $60 °$

HA là hình chiếu của SA lên (ABC)

$\Rightarrow (\hat{S A; (A B C)}) = (\hat{S A; H A})$

$= \hat{S A H} = 60 °$

$\Rightarrow S H = S A . \sin 60 ° = 4. \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S H . S_{Δ A B C}$

$= \frac{1}{3} .2 \sqrt{3} .24 = 16 \sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12:

16/07/2024

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy,

A B = a, A D = 2 a

. Góc giữa SB và đáy bằng

45 °

. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:

A.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}

Xem đáp án

Ta có: $S A ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow A B$ là hình chiếu của SB trên (ABCD)

$\Rightarrow (\hat{S B, (A B C D)}) = (\hat{S B, A B})$

$= \hat{S B A} = 45 °$

$\Rightarrow Δ S A B$ vuông cân tại A

$\Rightarrow S A = A B = a$

$\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C}$

$= \frac{1}{3} S A . \frac{1}{2} S_{A B C D}$

$= \frac{1}{3} . a . \frac{1}{2} . a .2 a = \frac{a^{3}}{3}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 13:

21/07/2024

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng

4 a^{3}

, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng

a^{2}

. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB)

A. 12a

B. 6a

C. 3a

D. 4a

Xem đáp án

Vì M là trung điểm của SD nên

$\frac{V_{S . A B M}}{V_{S . A B D}} = \frac{S M}{S D} = \frac{1}{2}$

Mà $\frac{V_{S . A B D}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow V_{S . A B D} = \frac{1}{2} .4 a^{3} = 2 a^{3}$

$\Rightarrow V_{S . A B M} = a^{3} = \frac{1}{3} . d (M; (S A B)) . S_{S A B}$

$\Leftrightarrow d (M; (S A B)) = \frac{3 a^{3}}{a^{2}} = 3 a$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 14:

23/07/2024

Cho hình chóp S.ABCD có

S A ⊥ (A B C D)

. Biết

A C = a \sqrt{2}

, cạnh SC tạo với đáy một góc

60 °

và diện tích tứ giác ABCD là

\frac{3 a^{2}}{2}

. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SC. Tính thể tích khối chóp H.ABCD.

A.

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}

B.

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}

C.

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{8}

D.

\frac{3 a^{3} \sqrt{6}}{8}

Xem đáp án

Ta có: $S A ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow$ AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

$\Rightarrow (\hat{S C; (A B C D)}) = (\hat{S C; A C}) = 60 °$

$S A ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow$ $S A ⊥ A C$

$\Rightarrow Δ S A C$ vuông tại A và $\hat{S C A} = 60 °$

Xét tam giác vuông SAC có:

$S A = A C . \tan 60 = a \sqrt{2} . \sqrt{3} = a \sqrt{6}$ ;

$S C = \frac{A C}{\cos 60} = \frac{a \sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2 a \sqrt{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có:

$A C^{2} = H C . S C$

$\Rightarrow \frac{H C}{S C} = \frac{A C^{2}}{S C^{2}} = \frac{2 a^{2}}{8 a^{2}} = \frac{1}{4}$

Trong (SAC) kẻ

$H K / / S A \Rightarrow H K ⊥ (A B C D)$

Ta có:

$\frac{H K}{S A} = \frac{H C}{S C} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow H K = \frac{1}{4} S A = \frac{a \sqrt{6}}{4}$

Vậy $V_{H . A B C D} = \frac{1}{3} H K . S_{A B C D}$

$= \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{4} . \frac{3 a^{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{8}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 15:

11/10/2024

Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = 2a,

AC = 3a, AD = 4a. Thể tích của khối tứ diện đó là:

A.

12 a^{3}

B.

6 a^{3}

C.

8 a^{3}

D.

4 a^{3}

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

* Phương pháp giải:

- Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng
* Lời giải:

Thể tích khối tứ diện ABCD đã cho là:

$V = \frac{1}{6} A B . A C . A D = \frac{1}{6} .2 a .3 a .4 a = 4 a^{3}$

* Một số lý thuyết liên quan:

Thể tích một số khối chóp đặc biệt

a. Khối tứ diện đều: Là khối chóp có tất cả các cạnh bằng nhau

Tất cả các mặt đều là các tam giác đều. Chân đường cao là trọng tâm của đáy

b. Khối chóp tam giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đáy là tam giác. Chân đường cao là trọng tâm của tam giác đáy.

c. Khối chóp tứ giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Đáy là hình vuông, chân đường cao là tâm của hình vuông.

d. Chóp tam giác có 3 cạnh bên đôi một vuông góc.

- Giả sử 3 cạnh bên có độ dài lần lượt là a, b và c. Khi đó thể tích khối chóp này là: $V = \frac{1}{6} a b c$

e. Khối tứ diện gần đều

- Là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án 2024) – Toán 12

TOP 40 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (có đáp án 2024) – Toán 12

Trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện có đáp án (Thông hiểu)

Câu 16:

23/07/2024

Cho khối chóp có chiều cao bằng 6, diện tích đáy bằng 4. Thể tích khối chóp đã cho bằng:

A. 24

B. 10

C. 12

D. 8

Xem đáp án

Thể tích khối chóp đã cho là:

$V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} .6.4 = 8$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 17:

22/07/2024

Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là:

A.

V = \frac{1}{3} S h

B.

V = \frac{1}{2} S h

C.

V = \frac{1}{6} S h

D. V = Sh

Xem đáp án

Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là: V = Sh.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18:

22/07/2024

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho

\frac{S M}{S A} = k

. Xác định k sao cho mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.

A.

k = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}

B.

k = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}

C.

k = \frac{- 1 + \sqrt{2}}{2}

D.

k = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}

Xem đáp án

Vì BC // AD nên mặt phẳng (BMC) cắt (SAD) theo đoạn thẳng $M N / / A D (N \in S D)$

Vì $M N / / A D \Rightarrow \frac{S M}{S A} = \frac{S N}{S D} = k$

$\frac{V_{S . M B C}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S A} = k$

$\Rightarrow V_{S . M B C} = k . V_{S . A B C} = \frac{k}{2} V_{S . A B C D}$

$\frac{V_{S . M N C}}{V_{S . A D C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S D} = k^{2}$

$\Rightarrow V_{S . M N C} = k^{2} . V_{S . A D C} = \frac{k^{2}}{2} V_{S . A B C D}$

$\Rightarrow V_{S . M B C N} = V_{S . M B C} + V_{S . M N C}$

$= (\frac{k}{2} + \frac{k^{2}}{2}) V_{S . A B C D}$

Để mặt phẳng (BMNC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau thì:

$\frac{k}{2} + \frac{k^{2}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k^{2} + k - 1 = 0$

$\Leftrightarrow k = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ do k > 0

Đáp án cần chọn là: B

Câu 19:

23/07/2024

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông

cân tại B, biết $S A = A C = 2 a$ . Thể tích khối chóp S.ABC là:

A.

V_{S . A B C} = \frac{2}{3} a^{3}

B.

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} a^{3}

C.

V_{S . A B C} = 2 a^{3}

D.

V_{S . A B C} = \frac{4}{3} a^{3}

Xem đáp án

Do $Δ A B C$ vuông cân tại B có

$A C = 2 a \Rightarrow A B = B C = \frac{A C}{\sqrt{2}} = a \sqrt{2}$

$\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . \frac{1}{2} B A . B C$

$= \frac{1}{6} .2 a . a \sqrt{2} . a \sqrt{2} = \frac{2 a^{3}}{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20:

23/07/2024

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh AB = a, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng

45 °

. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A.

\frac{a^{3}}{3}

B.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}

C.

\frac{a^{3}}{6}

D.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}

Xem đáp án

Gọi $O = A C \cap B D$ ta có $S O ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow (\hat{S A; (A B C)}) = (\hat{S A; (A B C D)})$

$= \hat{S A O} = 45 °$

$\Rightarrow S O = O A = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D}$

$= \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 21:

13/07/2024

Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3, AC =

a \sqrt{3}

. Tam giác SBC đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC

A.

V = \frac{a^{3}}{2}

B.

V = \frac{a^{3}}{6}

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}

Xem đáp án

Trong mp (SBC) kẻ

$S H ⊥ B C (H \in B C)$

$\Rightarrow S H ⊥ (A B C)$ , H là trung điểm BC.

Xét tam giác vuông ABC có

$B C = \sqrt{a^{2} + 3 a^{2}} = 2 a$

$\Rightarrow Δ S B C$ đều cạnh 2a

$\Rightarrow S H = \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a {\sqrt{3}}^{3}$

$\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S H . S_{Δ A B C}$

$= \frac{1}{6} S H . A B . A C = \frac{1}{2} a$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 22:

23/07/2024

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là tứ giác đều cạnh a, biết rằng

B D' = a \sqrt{6}

. Thể tích của khối lăng trụ?

A.

a^{3} \sqrt{2}

B.

a^{3} \sqrt{3}

C.

3 a^{3}

D.

2 a^{3}

Xem đáp án

Vì A’B’C’D’ là hình vuông cạnh a nên $B' D' = a \sqrt{2}$

$B B' ⊥ (A' B' C' D')$

$\Rightarrow B B' ⊥ B' D'$

$\Rightarrow Δ B B' D'$ vuông tại B'

$\Rightarrow B B' = \sqrt{B D'^{2} - B' D'^{2}}$

$= \sqrt{6 a^{2} - 2 a^{2}} = 2 a$

Vậy $V_{A B C D . A' B' C' D'} = B B' . S_{A B C D}$

$= 2 a . a^{2} = 2 a^{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 23:

13/07/2024

Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm, biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ

A.

480 c m^{3}

B.

360 c m^{3}

C.

240 c m^{3}

D.

120 c m^{3}

Xem đáp án

Gọi $O = A C \cap B D$ ta có: OA = 3cm; OB = 4cm.

Xét tam giác vuông OAB có:

$A B = \sqrt{O A^{2} + O B^{2}}$

$= \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 c m$

Khi đó chu vi đáy bằng

$P = 4.5 = 20 = 2. A A' \Rightarrow A A' = 10 (c m)$

$S_{A B C D} = \frac{1}{2} A C . B D = \frac{1}{2} .6.8 = 24 (c m^{2})$

Vậy $V_{A B C D . A' B' C' D'} = A A' . S_{A B C D}$

$= 10.24 = 240 (c m^{3})$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 24:

22/07/2024

Cho đa diện ABCDEF có AD, BE, CF đôi một song song. $A D ⊥ (A B C), A D + B E + C F = 5$ , diện tích ta giác ABC bằng 10. Thể tích đa diện ABCDEF bằng:

A. 50

B.

\frac{15}{2}

C.

\frac{50}{3}

D.

\frac{15}{4}

Xem đáp án

Chọn $A D = B E = C F = \frac{5}{3}$ thì đa diện hình lăng trụ đứng ABC.DEF có diện tích đáy $S_{A B C} = 10$ , chiều cao $A D = \frac{5}{3}$

Thể tích $V = S_{A B C} . A D = 10. \frac{5}{3} = \frac{50}{3}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 25:

23/07/2024

Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn

\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}

. Mặt phẳng thay đổi chứ BG và cắt AC, AD lần lượt tại M và N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số

\frac{V_{A B M N}}{V_{A B C D}}

là:

A.

\frac{3}{8}

B.

\frac{4}{9}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{5}{9}

Xem đáp án

Gọi O là trọng tâm tam giác BCD

$\Rightarrow \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 3 \vec{G O}$

$\Rightarrow \vec{G A} + 3 \vec{G O} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{G A} = - 3 \vec{G O}$

$\Rightarrow \frac{A G}{A O} = \frac{3}{4}$

Trong (ABC) gọi $F = B G \cap A E (F \in A E)$

Lấy $M \in A C$ ,

trong (ACD) gọi $N = M F \cap A D (N \in A D)$ ,

khi đó ta có mặt phẳng chứ BG cắt AC, AD lần lượt tại M, N chính là (BMN).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AOE, cát tuyến BGF:

$\frac{G A}{G O} . \frac{B O}{B E} . \frac{F E}{F A} = 1$

$\Rightarrow 3. \frac{2}{3} . \frac{F E}{F A} = 1$

$\Rightarrow \frac{F E}{F A} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{A F}{A E} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow F$ là trọng tâm tam giác ACD

Trong (ACD) kéo dài MN cắt CD tại H.

Đặt $\frac{A M}{A C} = x (0 < x < 1)$

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACE, cát tuyến MHF:

$\frac{M A}{M C} . \frac{H C}{H E} . \frac{F E}{F A} = 1$

$\Rightarrow \frac{x}{1 - x} . \frac{H C}{H E} . \frac{1}{2} = 1$

$\Rightarrow \frac{H C}{H E} = \frac{2 (1 - x)}{x}$

$\Rightarrow H E = \frac{x}{2 (1 - x)} H C$

$\Rightarrow H C + C E = \frac{x}{2 (1 - x)} H C$

$\Rightarrow C E = \frac{3 x - 2}{2 (1 - x)} H C$

Ta có:

$H D = H C + 2 C E$

$= H C + \frac{3 x - 2}{1 - x} H C$

$= \frac{2 x - 1}{1 - x} H C$

$\Rightarrow \frac{H E}{H D} = \frac{x}{2 (1 - x)} : \frac{2 x - 1}{1 - x}$

$= \frac{x}{2 (2 x - 1)}$

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AED, cát tuyến MFN:

$\frac{F A}{F E} . \frac{H E}{H D} . \frac{N D}{N A} = 1$

$\Rightarrow 2. \frac{x}{2 (2 x - 1)} . \frac{N D}{N A} = 1$

$\Rightarrow \frac{N D}{N A} = \frac{2 x - 1}{x} \Rightarrow \frac{N A}{N D} = \frac{x}{2 x - 1}$

$\Rightarrow \frac{N A}{N A + N D} = \frac{x}{x + 2 x - 1} = \frac{x}{3 x - 1}$

$\Rightarrow \frac{A N}{A D} = \frac{x}{3 x - 1}$

Khi đó ta có:

$\frac{V_{A B M N}}{V_{A B C D}} = \frac{A M}{A C} . \frac{A N}{A D}$

$= x . \frac{x}{3 x - 1} = \frac{x^{2}}{3 x - 1} (x > \frac{1}{3})$

Xét hàm số $f (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 1} (x > \frac{1}{3})$

ta có:

$f' (x) = \frac{2 x (3 x - 1) - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}} = \frac{3 x^{2} - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 (k t m) \\ x = \frac{2}{3} \end{matrix}$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy

$\min_{(\frac{1}{3}; + \infty)} f (x) = f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{9}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{A B M N}}{V_{A B C D}} = \frac{4}{9}$

Đáp án cần chọn là: B

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3