Ta có:

lần lượt là VTPT của $\left(\alpha \right);\left(\beta \right)$.

Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{n_p}$.

Ta có:

 Chọn C.

Đáp án đúng: D

* Lời giải.

Điều kiện:

Hàm số đồng biến trên 

Kết hợp điều kiện $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow m\in \left\{1;2\right\}$ 

*Phương pháp giải

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ với mọi $x\in K$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ với mọi $x\in K$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

Phương pháp giải chung

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Bước 2. Tìm các điểm tại đó $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ hoặc $f^{\text{'}}\left(x\right)$ không xác định.

Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y'.

Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y'.

Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y'.

*Một số lý thuyết nắm thêm về hàm số đồng biến/nghịch biến:

1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

Lưu ý

– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Phần I. Các bài toán không chứa tham số.

Dạng 1: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x). Tìm các giá trị x_i (i=1, 2, .., n) mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 4. Sắp xếp các giá trị x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 5. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và chọn đáp án chính xác nhất.

Dạng 2: Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số của hàm số f’(x), xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho.

1. Phương pháp giải.

- Dựa vào bảng biến thiên có sẵn, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và chọn đáp án đúng.

- Từ đồ thị hàm số của hàm số f’(x), ta có:

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó giá trị f'(x) > 0 (nằm phía trên trục hoành).

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó f'(x) < 0 (nằm phía dưới trục hoành).

Xét bài toán: Cho bảng biến thiên của hàm số f’(x). Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) theo f(x).

- Các bước giải:

Bước 1: Ta tính đạo hàm .

Bước 2: Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) và bảng biến thiên của f’(x) để có được bảng xét dấu cho .

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu của vừa có để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x).

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ với mọi $x\in K$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ với mọi $x\in K$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

Phương pháp giải chung

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Bước 2. Tìm các điểm tại đó $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ hoặc $f^{\text{'}}\left(x\right)$ không xác định.

Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y'.

Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y'.

Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y'.

Chú ý:

• Đối với hàm phân thức hữu tỉ $y=\frac{ax+b}{cx+d}\left(x\ne -\frac{d}{c}\right)$ thì dấu “=” khi xét dấu đạo hàm y' không xảy ra.

• Giả sử:

$y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c.$

+ Hàm số đồng biến trên R

$$\begin{gathered} \iff f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0;\forall x\in ℝ \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\\ c>0\end{array}\right.\end{array}\right.. \end{gathered}$$

+ Hàm số nghịch biến trên R

$$\begin{gathered} \iff f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0;\forall x\in ℝ \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\\ c<0\end{array}\right.\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f(x) = d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

• Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng 1 ta giải như sau:

Bước 1: Tính $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x;m\right)=a{x}^2+bx+c.$

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên $\left(x_1;x_2\right)\iff y^{\text{'}}=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ a\ne 0\end{array}\right.\left(*\right)$

Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng 1

$$\begin{gathered} \iff \left|x_1-x_2\right|=l \\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=l^2 \\ \iff S^2-4P=l^2\left(**\right) \end{gathered}$$

Bước 4: Giả (*) và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (có đáp án 2024) – Toán 12 

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Ta thấy $M\left(-3;5\right)$ biểu diễn số phức

Chọn D.

Ta có:

nhận $\overrightarrow{n_{\alpha }}\left(4;3;-12\right)$ làm VTPT.

Ta có: (S) có tâm $I\left(1;2;3\right)$ và bán kính

Mặt phẳng $\left(\beta \right)$ tiếp xúc với mặt cầu

Gọi $M\left(0;0;z_0\right)\left(z_0>0\right)$ là giao điểm của Oz và các mặt phẳng ${\beta }_1; {\beta }_2$

Chọn C.

Gọi công sai của CSC là d.

Theo đề bài ta có:

Chọn A.

Ta có: 

Để có hệ số của $x^6$ thì: $k=6$ hệ số của

Chọn A.

Chọn B.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\left\{0;4\right\}$ 

Chọn A.

Dựa vào BBT ta thấy hàm số có dạng: $y=a{x}^4+b{x}^2+c\left(a\ne 0\right)$ 

Ta thấy nét cuối của hàm số đi lên $a>0$  Loại đáp án B.

Hàm số có 3 điểm cực trị $ab<0$ Loại các đáp án C và D.

Chọn A.

Ta có: 

Chọn A.

Gọi cạnh hình lập phương ban đầu là

Cạnh hình lập phương sau khi tăng 2cm là

Chọn B.

Ta có: 

Đặt

Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên $\left[-2;6\right]$ lần lượt là:

Chọn B.

Ta có:   

Chọn D.

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$.

Chọn B.

Chú ý khi giải: HS thường hay chọn nhầm với giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=-4$.

Chọn B.

Ta có:

Chọn B.

Ta có: $∆ABC$ vuông cân tại B

Chọn D.

Ta có:  

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và đường thẳng $y=-\frac{7}{2}$.

Ta có:

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y=-\frac{7}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại 4 điểm phân biệt.            

Chọn C.

Ta có:

Trong đó $x=3;x=-\frac{1}{2}$ là các nghiệm bội lẻ và $x=-5$ là nghiệm bội chẵn nên hàm số có hai điểm cực trị.

Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ là $x=-1$ và TCN là $y=2$ Chọn C.

Ta có:

Chọn D.

Gọi I là trung điểm của OO'

Chọn A. 

Dựa vào BBT ta thấy:

là TCĐ của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Gọi $I\left(a;-a\right)\left(a>0\right)$ thuộc đường thẳng $y=-x$

(S) tiếp xúc với các trục tọa độ 

Chọn B.

Gọi $M\left(a;b\right); N\left(c;d\right)$

Khi đó ta có M thuộc đường tròn ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=1\left(C\right)$ và N thuộc đường thẳng 

Đường tròn (C) có tâm $I\left(1;2\right)$, bán kính $R=1$

Ta có 

Khi đó

Chọn D.

Mặt cầu tâm I đi qua

Chọn D.

Ta có: 

Chọn D.

Ta có:

Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(0;1\right)$  

Chọn C.

Ta có: 

Chọn B.

Chọn C.

Dễ dàng nhận thấy $\left(P\right)//\left(Q\right)$.

Chọn A.

Ta có: 

Chọn A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y=\frac{\left|x\right|}{x+5}; x=-2;x=2$ và trục hoành là:

Chọn B.

Theo giả thiết ta có

Hàm số $y=g\left(x\right)$ đồng biến trên  $\left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

Chọn A. 

Gọi M là trung điểm của  SC.

Tam giác SBC cân tại $B, BM\perp SC$.

Xét tam giác SBD có SO là trung tuyến đồng thời là đường cao

$∆SBC$ cân tại $S\Rightarrow SB=SD=a$

Ta có:

Xét chóp B.SAC ta có $BC=BS=BA=a$ Hình chiếu của B lên (SAC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $∆SAC$.

Ta có 

là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆SAC$.  

Xét tam giác vuông OAB có

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác BDM ta có:

Chọn A.

Đồ thị hàm số $f\left(x\right)=2x^3+mx+3$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ a,b,c  khi đó

Khi đó ta có:

Chọn B.

Ta có: 

Ta có $∆MNP$ đồng dạng với $∆BCD$ theo tỉ số

Dựng $B\text{'}C\text{'}$ qua M và song song BC. $C\text{'}D\text{'}$ qua P và song song với CD.

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

Xét phương trình

 Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

Xét phương trình

 Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.

Xét phương trình 

 Phương trình (3) có 1 nghiệm duy nhất.

Dễ thấy các nghiệm trên đều không trùng nhau.

Vậy phương trình $f\left(f\left(x-1\right)\right)=0$ có tất cả 7 nghiệm thực phân biệt.

Chọn C.

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:

Gọi điểm $B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ lần lượt là các điểm  B,C,D sau khi hạ xuống ta có:

Chọn B.

Quay miền tam giác SAB quanh cạnh SA ta được khối nón có chiều cao $h=\mathrm{SA}$, bán kính đáy $R=AB$.

Quay nửa hình tròn quanh cạnh SA ta được khối cầu có bán kính IA.

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

Chọn D.

Ta có

Ta có: 

Chọn B.

Sau tháng thứ nhất, số tiền còn lại là

Sau tháng thứ hai số tiền còn lại là

Sau 12 tháng số tiền còn lại là

Chọn D.

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^4-2m{x}^2+4-2m^2$ có 

TH1: $m\le 0$ Hàm số $y=f\left(x\right)$ có 1 cực trị.

 Để hàm số  $y=\left|f\left(x\right)\right|$ có đúng 3 cực trị thì phương trình $f\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có 3 cực trị.

BBT:

Hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$ có đúng 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình $f\left(x\right)=0$ vô nghiệm

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Ta có

ĐÁP ÁN C

Chọn C.

Từ đó

Sử dụng MTCT ta tìm được max $P=2$.

Chọn A.

ĐÁP ÁN D.