Cho x,y thỏa mãn ${\log }_3\left(\frac{x+y}{x^2+y^2+xy+2}\right)=x\left(x-9\right)+y\left(y-9\right)+xy$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{3x+2y-9}{x+y-10}$ khi x,y thay đổi.  

Cho lưới ô vuông đơn vị, kích thước 4 ´6 như sơ đồ hình vẽ bên. Một con kiến bò từ A, mỗi lần di chuyển nó bò theo một cạnh của hình vuông đơn vị để tới mắt lưới liền kề. Có tất cả bao nhiêu cách thực hiện hành trình để sau 12 lần di chuyển, nó dừng lại ở B ?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[-2;6\right]$, có đồ thị hàm số như hình vẽ. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $f\left(x\right)$ trên miền $\left[-2;6\right]$. Tính giá trị của biểu thức $T=2M+3m$. 

Trong hệ trục tọa độ  Oxyz, cho điểm $A\left(-1;3;5\right); B\left(2;6;-1\right); C\left(-4;-12;5\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right): x+2y-2z-5=0$. Gọi M là điểm di động trên (P). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\left|\overrightarrow{MA }+\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC}\right|$  là:  

Một phân sân trường được định vị bởi các điểm A, B, C, D như hình vẽ. Bước đầu chúng được lấy “thăng bằng” để có cùng độ cao, biết ABCD là hình thang vuông ở A và B với dộ dài $AB=25m;AD=15m; BC=18m$. Do yêu cầu kỹ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở C nên người ta lấy độ cao ở các điểm B, C, D xuống thấp hơn so với độ cao ở A là 10cm, a cm, 6cm tương ứng. Giá trị của a là các số nào sau đây?

Cho các số thực x,y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn $3x^2-2xy-y^2=5$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P: x^2+xy+2y^2$ thuộc khoảng nào sau đây?

Hình lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có đáy ABC là tam giác vuông tại $A,AB=a; AC=2a$. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) là điểm I thuộc cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng $A\text{'}BC$. 

Cho tam giác SAB vuông tại A,$\angle ABS=60°$. Phân giác của góc $\angle ABS$ cắt SA tại I. Vẽ nửa đường tròn tâm I, bán kính IA (như hình vẽ). Cho miền tam giác SAB và nửa hình tròn quay xung quanh trục SA tạo nên các khối tròn xoay có thể tích tương ứng là V1, V2. Khẳng định nào sau đây là đúng?     

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (S) có tâm I nằm trên đường thẳng $y=-x$, bán kính bằng $R=3$ và tiếp xúc với các trục tọa độ. Lập phương trình của (S), biết hoành độ tâm I là số dương. 

Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2cm thì thể tích của nó tăng thêm $98c{m}^3$. Tính độ dài cạnh của hình lập phươn.

Cho các số thực a;b;c;d thay đổi, luôn thỏa mãn ${\left(a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2=1$ và $4c-3d-23=0$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P:{\left(a-c\right)}^2+{\left(b-d\right)}^2$ là:

Có tất ả bao nhiêu giá trị nguyên của  m để hàm số $y=\frac{x+2}{x+3m}$ đồng biến trên $\left(-\infty ;-6\right)$?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thực của phương trình $2f\left(x\right)+7=0$

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^4-2m{x}^2+4-2m^2$ Có tất cả bao nhiêu số nguyên $m\in \left(-10;10\right)$ để hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$ có đúng 3 cực trị.

Ông An có 200 triệu đồng gửi tiết kiệm tại ngân hàng với kì hạn 1 tháng so với lãi suất 0,6%/ 1 tháng được trả vào cuối kì. Sau mỗi kì hạn ông đến tất toán cả gốc lẫn lãi, rút ra 4 triệu đồng để tiêu dùng, số tiền còn lại ông gửi vào ngân hàng theo phương thức trên (phương thức giao dịch và lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình gửi). Sau đúng 1 năm (đúng 12 kì hạn) kể từ ngày gửi, ông An tất toán và rút ra toàn bộ số tiền nói trên ở ngân hàng, số tiền đó là bao nhiêu? (làm tròn đến nghìn đồng)

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số$y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây: