Có tất ả bao nhiêu giá trị nguyên của  m để hàm số $y=\frac{x+2}{x+3m}$ đồng biến trên $\left(-\infty ;-6\right)$?

Đáp án đúng: D

* Lời giải.

Điều kiện:

Hàm số đồng biến trên 

Kết hợp điều kiện $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow m\in \left\{1;2\right\}$ 

*Phương pháp giải

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ với mọi $x\in K$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ với mọi $x\in K$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

Phương pháp giải chung

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Bước 2. Tìm các điểm tại đó $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ hoặc $f^{\text{'}}\left(x\right)$ không xác định.

Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y'.

Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y'.

Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y'.

*Một số lý thuyết nắm thêm về hàm số đồng biến/nghịch biến:

1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

Lưu ý

– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Phần I. Các bài toán không chứa tham số.

Dạng 1: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x). Tìm các giá trị x_i (i=1, 2, .., n) mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 4. Sắp xếp các giá trị x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 5. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và chọn đáp án chính xác nhất.

Dạng 2: Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số của hàm số f’(x), xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho.

1. Phương pháp giải.

- Dựa vào bảng biến thiên có sẵn, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và chọn đáp án đúng.

- Từ đồ thị hàm số của hàm số f’(x), ta có:

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó giá trị f'(x) > 0 (nằm phía trên trục hoành).

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó f'(x) < 0 (nằm phía dưới trục hoành).

Xét bài toán: Cho bảng biến thiên của hàm số f’(x). Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) theo f(x).

- Các bước giải:

Bước 1: Ta tính đạo hàm .

Bước 2: Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) và bảng biến thiên của f’(x) để có được bảng xét dấu cho .

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu của vừa có để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x).

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ với mọi $x\in K$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ với mọi $x\in K$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

Phương pháp giải chung

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Bước 2. Tìm các điểm tại đó $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ hoặc $f^{\text{'}}\left(x\right)$ không xác định.

Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y'.

Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y'.

Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y'.

Chú ý:

• Đối với hàm phân thức hữu tỉ $y=\frac{ax+b}{cx+d}\left(x\ne -\frac{d}{c}\right)$ thì dấu “=” khi xét dấu đạo hàm y' không xảy ra.

• Giả sử:

$y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c.$

+ Hàm số đồng biến trên R

$$\begin{gathered} \iff f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0;\forall x\in ℝ \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\\ c>0\end{array}\right.\end{array}\right.. \end{gathered}$$

+ Hàm số nghịch biến trên R

$$\begin{gathered} \iff f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0;\forall x\in ℝ \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\\ c<0\end{array}\right.\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f(x) = d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

• Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng 1 ta giải như sau:

Bước 1: Tính $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x;m\right)=a{x}^2+bx+c.$

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên $\left(x_1;x_2\right)\iff y^{\text{'}}=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ a\ne 0\end{array}\right.\left(*\right)$

Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng 1

$$\begin{gathered} \iff \left|x_1-x_2\right|=l \\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=l^2 \\ \iff S^2-4P=l^2\left(**\right) \end{gathered}$$

Bước 4: Giả (*) và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (có đáp án 2024) – Toán 12 

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số (2024) chi tiết nhất – Toán 12