50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi thptqg môn Toán hay nhất (Đề số 2)

Câu 1:

17/06/2026

Cho $f (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g (x)$ trên đoạn $[0; 1]$ . Tìm khẳng định đúng

A. $_{0}^{1} f (x) d x = g (1) - g (0)$

B. $_{0}^{1} g (x) d x = f (1) - f (0)$

C. $_{0}^{1} g (x) d x = f (0) - f (1)$

D. $_{0}^{1} f (x) d x = g (0) - g (1)$

Xem đáp án

Đáp án B

$f (x)$ là một nguyên hàm của $g (x) \Rightarrow \int_{0}^{1} g (x) d x = {f (x)|}_{0}^{1} = f (1) - f (0) .$

Câu 2:

17/06/2026

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có $A (0; 1; - 2), B^{'} (7; 5; 4), D (3; - 7; 6)$ . Xác định tọa độ tâm I của hình hộp.

A. $I (5; - 1; 5)$

B. $I (- 1; - 1; 5)$

C. $I (1; - 1; 1)$

D. $I (2; 1; 5)$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Tâm I của hình hộp là trung điểm của B’D nên

$x_{I} = \frac{x_{B^{'}} + x_{D}}{2} = 5; y_{I} = \frac{y_{B^{'}} + y_{D}}{2} = - 1; z_{I} = \frac{z_{B^{'}} + z_{D}}{2} = 5$

Vậy $I (5; - 1; 5)$ .

Câu 3:

17/06/2026

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $(H)$ trong hình vẽ xung quanh trục I được tính bởi công thức

A. $13 π \int_{a}^{b} |f^{2} (x) - g^{2} (x)| d x$

B. . $\int_{a}^{b} |f^{2} (x) - g^{2} (x)| d x$

C. $π \int_{a}^{b} |f^{2} (x) - g^{2} (x)| d x$

D. $π \int_{a}^{b} {(f (x) - g (x))}^{2} d x$ .

Xem đáp án

Đáp án C

$V = π_{a}^{b} |f^{2} (x) - g^{2} (x)| d x$

Câu 4:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = \frac{m x - 4}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$

A. $m \in (- 2; 2)$

B. $m \in (0; 2)$ .

C. $m \in (- 2; 0]$ .

D. $m \in (- 2; 1]$

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: $x \neq m$ .

Đạo hàm $y^{'} = \frac{- m^{2} + 4}{{(x - m)}^{2}}$ ;

Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{cases} y^{'} > 0, \forall x \in (1; + \infty) \\ x \neq m \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - m^{2} + 4 > 0, \forall x \in (1; + \infty) \\ x \neq m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 < m < 2 \\ m \notin (1; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow m \in (- 2; 1]$

Câu 5:

17/06/2026

Giá trị của biểu thức $A = a^{2 \log_{a^{3}} 27}, (0 < a \neq 1)$ . bằng?

A. $\frac{2}{3}$ .

B. 9.

C. 27.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án B

$A = a^{2 \log_{a^{3}} 27} = a^{\log_{a} 27^{\frac{2}{3}}} = 27^{\frac{2}{3}} = 9$ .

Câu 6:

17/06/2026

Cho điểm $A (- 5; 3; 0)$ và đường thẳng $d : \{\begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ y - z + 1 = 0 \end{cases}$ . Điểm nào trong các điểm sau ở trên mặt phẳng $(A, d)$ .

A. $(2; 3; 1)$

B. $(6; - 1; 2)$ .

C. $(- 4; - 2; 4)$ .

D. $(2; - 3; 5)$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Đường thẳng d đi qua $M (2; 0; 1)$ và có một VTCP là $\vec{u} = [(1; - 1; 0), (0; 1; - 1)] = (1; 1; 1)$

Mặt phẳng (A,d) đi qua A và có một VTPT là

$\vec{u} = [(1; - 1; 0), (0; 1; - 1)] = (1; 1; 1)$

Phương trình $(A, d)$ là $2 x + 3 y - 5 z + 1 = 0 \Rightarrow (6; - 1; 2) \in (A, d)$ .

Câu 7:

17/06/2026

Một hình bát diện đều cạnh a có nội tiếp được một mặt cầu hay không? Nếu có thì bán kính R của mặt cầu đó bằng bao nhiêu?

A. Có, $R = a \sqrt{2}$

B. Có, $R = a$ .

C. Có, $R = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

D. Không.

Xem đáp án

Đáp án C

Tâm mặt cầu là tâm đối xứng O của hình bát diện

Câu 8:

17/06/2026

Hình vẽ bên giống với đồ thị của hàm số nào nhất?

A. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2$

B. $y = x^{4} + 2 x^{2} + 2$ .

C. $y = - x^{4} - 2 x^{2} + 2$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 2$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$ do đó $a > 0$ .

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị do đó $a b < 0 \Rightarrow b < 0$

Chọn đáp án $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2$ .

Câu 9:

17/06/2026

Một tờ giấy được cắt sẵn như hình vẽ để gấp thành một hình chữ nhật với kích thước như hình vẽ. Thể tích của khối hộp được gấp là

A. 20.

B. 60.

C. 32.

D. 40.

Xem đáp án

Đáp án D

Khi gấp giấy ta được khối hộp có kích thước là 2.5.4=40 (đơn vị thể tích).

Câu 10:

17/06/2026

Một quả cầu nằm vừa khít trong một hình trụ. Tỉ số thể tích của khối trụ và khối cầu là

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{4}{3}$ .

C. $\frac{3}{2}$ .

D. $\frac{5}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Bán kính đáy của hình trụ bằng bán kính hình cầu và bằng R.

$V_{c a u} = \frac{4}{3} π R^{3}$ ;

$V_{t r u} = π R^{2} h = π R^{2} .2 R = 2 π R^{3}$ ;

$\frac{V_{t r u}}{V_{c a u}} = \frac{2 π R^{3}}{\frac{4}{3} π R^{3}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} .$

Câu 11:

17/06/2026

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức $z = x + i y,$ $x, y \in ℝ$ thỏa mãn điều kiện $|z| = 2$ .

A. Đường tròn $x^{2} + y^{2} = 4$ .

B. Đường thẳng $x = 2$ .

C. Đường thẳng $y = 2$

D. Hợp hai đường thẳng $x = 2, y = 2$ .

Xem đáp án

Đáp án A

$|z| = 2 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 4$ .

Câu 12:

17/06/2026

Tìm tọa độ điểm B đối xứng của $A (1; 2; 3)$ qua $d : \{\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 4 + 3 t \end{cases}$ .

A. $(3; 4; - 7)$ .

B. $(0; 2; 0)$ .

C. $(0; 2; 5)$ .

D. $(- 1; 0; 5)$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d là

$(P) : x + 2 y + 3 z - 14 = 0$ .

Gọi H là hình chiếu của B lên đường thẳng d⇒ tọa độ của H thỏa mãn hpt

$\{\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 4 + 3 t \\ x + 2 y + 3 z - 14 = 0 \end{cases} \Rightarrow t + 2 (1 + 2 t) + 3 (4 + 3 t) - 14 = 0 \Leftrightarrow t = 0$

$\Rightarrow H (0; 1; 4)$

$\Rightarrow B (- 1; 0; 5)$

Câu 13:

17/06/2026

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $a > 0. b < 0, c ⟨0, d⟩ 0$ .

B. $a > 0, b > 0, c > 0, d < 0$

C. $a > 0, b ⟨0, c⟩ 0, d < 0$

D. $a ⟨0, b⟩ 0, c > 0, d < 0$

Xem đáp án

Đáp án C

$y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c, △^{'} = b^{2} - 3 a c$ .

Ta thấy $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty \Rightarrow a > 0$ .

Đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại $x_{0} = 1$ song song với trục hoành, do đó hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_{0} = 1$ bằng $0 \Leftrightarrow y^{'} (1) = 0$ (*)

Nhận thấy hàm số đồng biến trên R do đó $y^{'} \geq 0$ với mọi x thuộc R (**)

Từ (*)(**) suy ra $△^{'} = 0$ , tức là phương trình $y^{'} = 0$ có nghiệm kép dương, do đó $\{\begin{cases} b^{2} = 3 a c \Rightarrow c > 0 \\ b > 0 \end{cases}$ .

$y (0) < 0 \Rightarrow d < 0$ .

Vậy $a > 0, c > 0, b < 0, d < 0$ .

Câu 14:

17/06/2026

Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số trùng phương $y = f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c, (a \neq 0)$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số thực m để phương trình $|f (x)| = \log_{3} m$ có 8 nghiệm phân biệt.

A. $1 < m < \log_{3} 2$ .

B. $1 < m < 9$ .

C. $m = 0$ .

D. $m > 1$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $|f (x)| = \{\begin{cases} f (x) v ớ i (x) \geq 0 \\ - f (x) v ớ i (x) < 0 \end{cases}$

Đồ thị hàm số $y = |f (x)|$ được suy ra từ đồ thị hàm số $y = f (x)$ gồm 2 phần:

- Phần 1: Phần phía bên trên trục hoành.

- Phần 2: Lấy đối xứng với phần phía dưới trục Ox qua trục Ox (bỏ đi phần phía dưới trục hoành).

Khi đó ta được đồ thị hàm số $y = |f (x)|$ như sau:

Phương trình $|f (x)| = \log_{3} m$ có 8 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 0 < \log_{3} m < 2 \Leftrightarrow 1 < m < 9$

Câu 15:

17/06/2026

Cho véc tơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ và hai véc tơ không cùng phương $\vec{a}, \vec{b}$ . Nếu véc tơ $\vec{n}$ vuông góc với $\vec{a}, \vec{b}$ thì ba véc tơ $\vec{n}, \vec{a}, \vec{b}$

A. Đồng phẳng.

B. Có thể đồng phẳng.

C. Có thể không đồng phẳng.

D. Không đồng phẳng.

Xem đáp án

Đáp án D

Không đồng phẳng.

Câu 16:

17/06/2026

Cho số phức z có biểu diễn hình học là điểm M trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Mô đun của số phức z bằng khoảng cách từ điểm M đến trục Ox.

B. Mô đun của số phức z bằng khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ.

C. Mô đun của số phức z luôn là một số dương.

D. Mô đun của số phức z bằng khoảng cách từ điểm M đến trục Oy.

Xem đáp án

Đáp án B

Mô đun của số phức z bằng khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ.

Câu 17:

17/06/2026

Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 3 m x^{2} + m$ có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành.

A. $0 < m < \frac{1}{6}$ .

B. $m \neq 0$ .

C. $|m| > \frac{1}{6}$ .

D. $|m| < \frac{1}{6}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

$y^{'} = x^{2} - 6 m x; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 0 \\ x_{2} = 6 m \end{array}$ .

Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực trị $\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m \neq 0$ .

Các điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành $\Leftrightarrow y_{1} y_{2} < 0$

$\Leftrightarrow m (- 36 m^{3} + m) < 0 \Leftrightarrow m^{2} (- 36 m^{2} + 1) < 0 \Leftrightarrow |m| > \frac{1}{6}$ .

Câu 18:

17/06/2026

Hợp thành của hai phép tịnh tiến không phải là phép nào trong các phép biến hình sau đây?

A. Phép tịnh tiến

B. Phép đồng nhất

C. Phép đối xứng qua mặt phẳng

D. Phép vị tự

Xem đáp án

Đáp án C

Hợp thành của hai phép tịnh tiến là phép dời hình có tính chất: Biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng song song hoặc trùng với a. Phép đối xứng qua mặt phẳng không có tính chất đó.

Câu 19:

17/06/2026

Số nghiệm của phương trình $2^{x} {.3}^{2 x + 1} = 54$ là

A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án B

$2^{x} {.3}^{2 x + 1} = 54 \Leftrightarrow \log_{2} (2^{x} {.3}^{2 x + 1}) = \log_{2} 54 \Leftrightarrow x + (2 x + 1) \log_{2} 3 = 1 + 3 \log_{2} 3$

$x (1 + 2 \log_{2} 3) = 1 + 2 \log_{2} 3 \Leftrightarrow x = 1.$

Câu 20:

17/06/2026

Hình chóp cụt tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A^{'} B^{'} = a, A B = A A^{'} = \frac{a}{2} .$ Thể tích của nó bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{48}$ .

B. $\frac{7 a^{3} \sqrt{2}}{24}$ .

C. $\frac{7 a^{3} \sqrt{2}}{48}$ .

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{24}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Các đường thẳng $A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}, D D^{'}$ cắt nhau tại S thì $S . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ và $S . A B C D$ là các hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a và $\frac{a}{2}$ .

$\frac{V_{S . A B C D}}{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}} = \frac{\frac{1}{3} S h}{\frac{1}{3} S^{'} h^{'}} = \frac{{(\frac{a}{2})}^{2} h}{a^{2} .2 h} = \frac{1}{8}$ .

⇒ thể tích hình chóp cụt có thể tích bằng $\frac{7}{8} . V_{S . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{7}{8} (\frac{1}{3} . a^{2} . \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}}) = \frac{7 a^{3} \sqrt{2}}{48} .$

Câu 21:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hai hàm số $f (x) = x^{3} - m x + 1$ và $g (x) = x^{2} + 1$ tiếp xúc với nhau.

A. $m = - \frac{3}{4}$ .

B. $m = 0$ hoặc $m = - \frac{1}{4}$ .

C. $m = - \frac{1}{2}$ .

D. $m = 0$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện để hai đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc nhau là

$\{\begin{cases} f (x) = g (x) \\ f^{'} (x) = g^{'} (x) \end{cases}$ có ít nhất một nghiệm.

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{3} - m x + 1 = x^{2} + 1 \\ 3 x^{2} - m = 2 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{3} - m x = x^{2} \\ 3 x^{3} - m x = 2 x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x^{3} = x^{2} \\ 3 x^{2} - 2 x = m \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} (2 x - 1) = 0 \\ m = 3 x^{2} - 2 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{1}{2} \end{array} \\ m = 3 x^{2} - 2 x \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - \frac{1}{4} \end{array}$ .

Vậy $m = 0$ hoặc $m = - \frac{1}{4}$ .

Câu 22:

17/06/2026

Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của nước Nhật là 0,2%. Năm 2012, dân số của Nhật là 127.368.088 người. Đến năm 2020 dân số ước tính của Nhật là bao nhiêu người?

A. $129.161.975$ .

B. $129.420.299$ .

C. $129.679.140$ .

D. $128.904.167$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Tổng quát, tỉ lệ tăng dân số nước Nhật là r%; dân số năm 2012 là A người.

Năm 2013, dân số Nhật là $A + A r = A (1 + r)$

Năm 2014, dân số Nhật là $A (1 + r) + A (1 + r) . r = A {(1 + r)}^{2}$ .

…

Năm 2020, dân số Nhật là

$A {(1 + r)}^{8} = 127.368.088 {(1 + 0,2 %)}^{8} = 129.420.299$

người.

Câu 23:

17/06/2026

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ trên đoạn [−2;2].

A. $\frac{2}{e^{2}}$ .

B. $\frac{1}{e}$ .

C. $\frac{2}{e}$ .

D. $2 e^{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

$y^{'} = \frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}} = \frac{1 - x}{e^{x}}$ ;

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ ;

$y (- 2) = - 2 e^{2}; y (1) = \frac{1}{e}; y (2) = \frac{2}{e^{2}} \Rightarrow y_{\max} = y (1) = \frac{1}{e}$

Câu 24:

17/06/2026

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$ và $x = 2 e$ là

A. $S = \ln 2$ .

B. $𝑆 = 2 \ln 2$ .

C. $S = \ln 2 + 1$ .

D. $S = 2 \ln 2 + 1$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Diện tích hình phẳng cần tính là

$S = \int_{1}^{2 e} |\frac{1}{x}| d x = \int_{1}^{2 e} \frac{1}{x} d x = {\ln x|}_{1}^{2 e} = \ln (2 e) = \ln 2 + 1$ .

Câu 25:

17/06/2026

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{3} (x^{2} + 1)$ là

A. $y^{'} = \frac{2 x \ln 3}{(x^{2} + 1)}$

B. $y^{'} = \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

C. $y^{'} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

D. $y^{'} = \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \ln 3}$

Xem đáp án

Đáp án D

$y^{'} = \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \ln 3}$ .

Câu 26:

17/06/2026

Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a và b. Quay tam giác đó (cùng với phần trong của nó) quanh đường thẳng chứa cạnh huyển, ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng

A. $\frac{π a^{2} b^{2}}{3 \sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

B. $\frac{π}{3} b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

C. $\frac{π a^{2} b^{2}}{3 (a + b)}$

D. $\frac{π}{3} a b \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Công thức thể tích khối nón $V_{n o n} = \frac{1}{3} π R^{2} h$ ;

Ở đây $R = O C$ .

Ta có $\frac{1}{O C^{2}} = \frac{1}{C A^{2}} + \frac{1}{C B^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} b^{2}} \Rightarrow O C = \frac{a b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = R$

Thể tích khối tròn xoay cần tính

$V = \frac{1}{3} π O C^{2} . O B + \frac{1}{3} π O C^{2} . O A = \frac{1}{3} π R^{2} . A B = \frac{1}{3} π \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} . \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \frac{π}{3} . \frac{a^{2} b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Câu 27:

17/06/2026

Đồ thị hàm số $y = \frac{5 x + 1}{x^{2} - 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 3.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} y = + \infty$ do đó $x = 1$ là TCĐ.

$\lim_{x \to - 1^{+}} y = + \infty$ do đó $x = - 1$ là TCĐ.

$\lim_{x \to + \infty} y = 0$ do đó $y = 0$ là TCN.

Câu 28:

17/06/2026

Gọi $x_{1}, x_{2}, (x_{1} < x_{2})$ là hai nghiệm của phương trình $9^{x^{2} - x} + 3^{x^{2} - x + 1} = 4$ . Tính giá trị của biểu thức $P = x_{1}^{2} - x_{2}^{2}$ .

A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. -1.

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $3^{x^{2} - x} = t > 0$ ta được

$t^{2} + 3 t - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 4 (l o a i) \end{array} \Rightarrow 3^{x^{2} - x} = 1 \Leftrightarrow x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 0 \\ x_{2} = 1 \end{array}$

$P = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = - 1$ .

Câu 29:

17/06/2026

Thực hiên phép tính $[\frac{1}{\sqrt{2}} (\cos 119^{0} + i \sin 119^{0})] [\sqrt{8} (\cos 59^{0} + i \sin 59^{0})] .$

A. $\sqrt{3} + i$ .

B. $- \sqrt{3} + i$ .

C. $- \sqrt{3} - i$ .

D. $\sqrt{3} - i$ .

Xem đáp án

Đáp án A

$\cos 119^{0} + i \sin 119^{0} = \sin (- 29^{0}) + i \cos (- 29^{0})$ ;

$\begin{array}{l} [\frac{1}{\sqrt{2}} (\cos 119^{0} + i \sin 119^{0})] [\sqrt{8} (\cos 59^{0} + i \sin 59^{0})] \\ = 2 [\cos (- 29^{0}) + i \sin (- 29^{0})] (\cos 59^{0} + i \sin 59^{0}) \\ = 2 (\cos 30^{0} + i \sin 30^{0}) = \sqrt{3} + i . \end{array}$

Câu 30:

17/06/2026

Nếu $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} x \sin x d x = \frac{1}{4}$ thì n bằng

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

$\int_{0}^{π / 2} \cos^{n} x \sin x d x = - \int_{0}^{π / 2} \cos^{n} x d (\cos x) = {- \frac{1}{n + 1} \cos^{n + 1} (x)|}_{0}^{π / 2} = \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{4} \Rightarrow n = 3$

Câu 31:

17/06/2026

Tính giới hạn $L = \lim \frac{1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{n}}{{7.2}^{n} + 4}$

A. $L = \frac{2}{7}$

B. $L = \frac{1}{7}$ .

C. $L = 0$ .

D. $L = \frac{1}{4}$ .

Xem đáp án

Đáp án A $L = \lim \frac{1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{n}}{{7.2}^{n} + 4} = \lim \frac{\frac{2^{n + 1} - 1}{2 - 1}}{{7.2}^{n} + 4} = \lim \frac{2 - \frac{1}{2^{n}}}{7 + \frac{4}{2^{n}}} = \frac{2}{7} .$

Câu 32:

17/06/2026

Đồ thị của hàm số nào sau đây không cắt trục hoành?

A. $y = e^{x}$ .

B. $y = \log_{2} x$

C. $y = x^{2}$ .

D. $y = l n x$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số $y = e^{x}$ có tập giá trị là (0;+∞) do đó nó có đồ thị không cắt trục hoành

Câu 33:

17/06/2026

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 1$ có đồ thị (C). Gọi Δ là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x_{0} = 0$ , B là giao điểm thứ hai của Δ với (C). Tính diện tích tam giác OAB.

A. $\frac{1}{4}$ .

B. $\frac{3}{2}$ .

C. $\frac{1}{2}$ .

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án B

$y^{'} = 3 x^{2} + 6 x$ ;

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $x_{0} = 0$ là $Δ : y = - 1$ .

Giao điểm của (C) và Δ là nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{cases} y = - 1 \\ y = x^{3} + 3 x^{2} - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{3} + 3 x^{2} - 1 = - 1 \\ y = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 3 \end{array} \\ y = - 1 \end{cases}$

Do đó giao điểm $B (- 3; - 1)$ .

Tam giác OAB vuông tại A nên $S_{O A B} = \frac{1}{2} . O A . A B = \frac{1}{2} .1.3 = \frac{3}{2}$ .

Câu 34:

17/06/2026

Tập xác định của hàm số ${(x^{2} - 5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ là

A. $(- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$ .

B. $[1; 4]$ .

C. $(1; 4)$ .

D. $(- \infty; 1) \cup (4; + \infty)$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: $x^{2} - 5 x + 4 > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; 1) \cup (4; + \infty)$

Câu 35:

17/06/2026

Cho khối hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A C = B^{'} D^{'} = a, A B^{'} = C D^{'} = b,$ $A D^{'} = B^{'} C = c$ . Thể tích của khối hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là

A. $\frac{1}{8} \sqrt{(- a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{2} - b^{2} + c^{2}) (a^{2} + b^{2} - c^{2})}$

B. $\frac{1}{2 \sqrt{2}} \sqrt{(b^{2} + c^{2}) (a^{2} + c^{2}) (a^{2} + b^{2})}$

C. $3 a b c$

D. $\frac{1}{2 \sqrt{2}} \sqrt{(- a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{2} - b^{2} + c^{2}) (a^{2} + b^{2} - c^{2})}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi độ dài các cạnh $A A^{'}, A D, A B$ lần lượt là $x, y, z$ . Ta có

$\{\begin{cases} y^{2} + z^{2} = a^{2} (1) \\ z^{2} + x^{2} = b^{2} (2) \\ x^{2} + y^{2} = c^{2} (3) \end{cases} \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (4)$

Trừ vế theo vế (4) cho (1), (2), (3) ta có

$x^{2} = \frac{1}{2} (- a^{2} + b^{2} + c^{2}); y^{2} = \frac{1}{2} (a^{2} - b^{2} + c^{2}); z^{2} = \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$

Thể tích khối hộp chữ nhật là

$\frac{1}{2 \sqrt{2}} \sqrt{(- a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{2} - b^{2} + c^{2}) (a^{2} + b^{2} - c^{2})}$

Câu 36:

17/06/2026

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M, N lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $z_{1} = - 4 + i, z_{2} = 2 - 9 i$ . Số phức $z_{3}$ có biểu diễn hình học là trung điểm của đoạn thẳng MN. Phát biểu nào sau đây là đúng về số phức $z_{3}$ ?

A. $z_{3} = 1 - 4 i$ .

B. $z_{3} = - 1 + 4 i$ .

C. $z_{3} = - 1 - 4 i$ .

D. $z_{3} = 1 + 4 i$ .

Xem đáp án

Đáp án C

$M (- 4; 1), N (2; - 9)$ trung điểm của MN là

$I (\frac{- 4 + 2}{2}; \frac{1 - 9}{2}) = I (- 1; - 4) \Rightarrow z_{3} = - 1 - 4 i .$

Câu 37:

17/06/2026

Tìm nguyên hàm của hàm số $y = 3^{x}$ .

A. $F (x) = \frac{e^{x}}{\ln 3} + C$ .

B. $F (x) = 3^{x} + C$

C. $F (x) = 3^{x} \ln 3 + C$ .

D. $F (x) = \frac{3^{x}}{\ln 3} + C$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 38:

17/06/2026

Cho $0 < a < 1 < b$ . Tích phân $I =_{a}^{b} |x^{2} - x| d x$ bằng

A. $_{a}^{1} (x^{2} - x) d x +_{1}^{b} (x^{2} - x) d x$

B. $-_{a}^{1} (x^{2} - x) d x +_{1}^{b} (x^{2} - x) d x$ .

C. $_{a}^{1} (x^{2} - x) d x -_{1}^{b} (x^{2} - x) d x$ .

D. $-_{a}^{1} (x^{2} - x) d x -_{1}^{b} (x^{2} - x) d x$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Bảng xét dấu

x	0 a 1 b
y	+ - - +

$\Rightarrow I = -_{a}^{1} (x^{2} - x) d x +_{1}^{b} (x^{2} - x) d x$

Câu 39:

17/06/2026

Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho $\frac{z - i}{z + i}$ là số thực.

A. Đường tròn phương trình $x^{2} + y^{2} = 1$ bỏ đi điểm (0;−1).

B. Trục tung bỏ đi điểm (0;−1).

C. Hyperbol phương trình $x^{2} - y^{2} = - 1$ bỏ đi điểm (0;−1).

D. Trục hoành bỏ đi điểm (0;1).

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $z = x + i y; x, y \in ℝ$ .

$\begin{array}{l} \frac{z - i}{z + i} = \frac{x + i (y - 1)}{x + i (y + 1)} = \frac{[x + i (y - 1)] [x - i (y + 1)]}{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} \\ = \frac{x^{2} + (y^{2} - 1) + i [x (y - 1) - x (y + 1)]}{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} \\ = \frac{x^{2} + y^{2} - 1}{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} + i \frac{- 2 x}{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} . \end{array}$

$\frac{z - i}{z + i}$ là số thực $\Leftrightarrow \frac{- 2 x}{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x \neq 0; x \neq - 1 \end{cases}$ là trục tung bỏ đi điểm (0;−1).

Câu 40:

17/06/2026

Cho phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ thỏa mãn $a \neq 0$ và $2 a + 6 b + 19 c = 0$ , với điều kiện đó phương trình có nghiệm $x_{0}$ . Hỏi khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $x_{0} \in [1; 2]$ .

B. $x_{0} \in [- \frac{1}{3}; - \frac{1}{2}]$ .

C. $x_{0} \in [0; \frac{1}{3}]$ .

D. $x_{0} \in [0; \frac{1}{3}]$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $f (x) = a x^{2} + b x + c$ là là hàm số đa thức nên liên tục trên .

Ta có: $f (0) = c$ và

$f (\frac{1}{3}) = \frac{a}{9} + \frac{b}{3} + c = \frac{a + 3 b + 9 c}{9} = \frac{2 a + 6 b + 18 c}{18} = \frac{(2 a + 6 b + 19 c) - c}{18} = - \frac{c}{18}$

$\Rightarrow f (0) . f (\frac{1}{3}) < 0$

KL: Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0; \frac{1}{3})$

Câu 41:

17/06/2026

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Tính xác suất để phương trình $x^{2} + b x + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt?

A. $\frac{1}{3}$ .

B. $\frac{1}{2}$ .

C. $\frac{2}{3}$ .

D. $\frac{1}{6}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Có 6 khả năng xảy ra khi tung súc sắc nên số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = 6$ .

Gọi A là biến cố: Phương trình $x^{2} + b x + 2 = 0$ (1) có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow b^{2} - 8 > 0 \Leftrightarrow b \in \{3; 4; 5; 6\}$ $\Rightarrow n (A) = 4$ .

Vậy xác suất cần tính là $p (A) = \frac{2}{3}$ .

Câu 42:

17/06/2026

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển thành đa thức của biểu thức ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}})}^{7}, x > 0.$

A. $C_{7}^{6}$ .

B. $C_{7}^{2}$ .

C. $C_{7}^{5}$

D. $C_{7}^{4}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}})}^{7} = {(x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{- 1}{4}})}^{7} =_{k = 0}^{7} C_{7}^{k} {(x^{\frac{1}{3}})}^{7 - k} {(x^{- \frac{1}{4}})}^{k} =_{k = 0}^{7} C_{7}^{k} x^{\frac{7}{3} - \frac{7 k}{12}}$

Số hạng không chứa x tương ứng với số hạng chứa k thỏa mãn

$\frac{7}{3} - \frac{7 k}{12} = 0 \Leftrightarrow k = 4$ .

Vậy số hạng không chứa x là $C_{7}^{4}$ .

Câu 43:

17/06/2026

Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{a x + 2}{b x + 3}$ tại điểm $M (- 2; - 4)$ song song với đường thẳng $d : 7 x - y + 5 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a - 3 b = 0$ .

B. $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .B. $k = \frac{1}{3}$ .C. $k = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .D. $k = \frac{1}{2}$ .

C. $b - 3 a = 0$ .

D. $b - 2 a = 0$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y^{'} = \frac{3 a - 2 b}{{(b x + 3)}^{2}}$ với $\forall x \neq - \frac{3}{b}$

Theo đề bài ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} - 4 = \frac{- 2 a + 2}{- 2 b + 3} \\ 7 = \frac{3 a - 2 b}{{(- 2 b + 3)}^{2}} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a + 4 b = 7 \\ 3 a - 2 b = 7 {(3 - 2 b)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + 4 b = 7 \\ 3 a - 2 b = 7 {(3 - 2 b)}^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 7 - 4 b \\ 3 (7 - 4 b) - 2 b = 7 {(3 - 2 b)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 7 - 4 b \\ 28 b^{2} - 70 b + 42 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 7 - 4 b \\ [\begin{array}{l} b = 1 (t / m) \\ b = \frac{3}{2} (l o a i) \end{array} \end{cases}$

Khi $b = 1$ thì $a = 3 \Rightarrow a - 3 b = 0$ .

Câu 44:

17/06/2026

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác $A B C$ thỏa mãn $A B = 5, A C = 6, B C = 7$ . Các mặt bên của hình chóp nghiêng với đáy một góc $60^{\circ}$ . Diện tích mặt bên lớn nhất của hình chóp bằng.

A. $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$

B. $2 \sqrt{6}$ .

C. $\frac{14 \sqrt{6}}{3}$ .

D. $\frac{28 \sqrt{6}}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Kẻ $S H ⊥ B C$ tại H.

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$ $\Rightarrow S O ⊥ (A B C)$ và $\hat{S H O} = 60^{\circ}$

Ta có $S_{A B C} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = p . r$

$\Leftrightarrow 6 \sqrt{6} = 9. O H \Leftrightarrow O H = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

Suy ra $S H = \frac{O H}{\cos 60^{\circ}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} .2 = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ .

Vậy $S_{S B C} = \frac{1}{2} S H . B C = \frac{1}{2} . \frac{4 \sqrt{6}}{3} .7 = \frac{14 \sqrt{6}}{3}$ .

Câu 45:

17/06/2026

Cho $A (1; - 1; - 3), B (2; 1; - 2), C (- 5; 2; - 6)$ . Tính độ dài đường phân giác trong góc A của tam giác ABC.

A. $\frac{3 \sqrt{10}}{4}$ .

B. $\frac{5}{4}$ .

C. $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

D. $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $A B = \sqrt{6}, A C = \sqrt{54} \Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{1}{3}$ .

Do đó chân đường phân giác trong E của góc A chia đoạn BC theo tỉ số $- \frac{1}{3}$ , tức là $\frac{\vec{E B}}{\vec{E C}} = - \frac{1}{3}$ .

$\Rightarrow \vec{E B} = - \frac{1}{3} \vec{E C} \Rightarrow \vec{B E} = \frac{1}{4} \vec{B C}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{E} - 2 = \frac{1}{4} (- 5 - 2) \\ y_{E} - 1 = \frac{1}{4} (2 - 1) \\ z_{E} + 2 = \frac{1}{4} (- 6 + 2) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{E} = \frac{1}{4} \\ y_{E} = \frac{5}{4} \\ z_{E} = - 3 \end{cases} \Rightarrow A E = \frac{3 \sqrt{10}}{4}$

Câu 46:

17/06/2026

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $6^{x} - (3 - m) 2^{x} - m = 0$ có nghiệm thuộc khoảng (0;1)

A. $[2; 4]$ .

B. $(3; 4)$ .

C. $(2; 4)$ .

D. $[3; 4]$ .

Xem đáp án

Đáp án C

$6^{x} - (3 - m) 2^{x} - m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{6^{x} + {3.2}^{x}}{2^{x} + 1}$

Xét hàm số $f (x) = \frac{6^{x} + {3.2}^{x}}{2^{x} + 1}$ trên khoảng $(0; 1)$

$f^{'} (x) = \frac{6^{x} {.2}^{x} (\ln 6 - \ln 2) + 6^{x} \ln 6 + {3.2}^{x} \ln 2}{{(2^{x} + 1)}^{2}} > 0$ do đó hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(0; 1)$ .

Phương trình $f (x) = m$ có nghiệm trong khoảng $(0; 1) \Leftrightarrow f (0) < m < f (1) \Leftrightarrow 2 < m < 4$ .

Câu 47:

17/06/2026

Cho hai đường thẳng chéo nhau $d_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{0}$ và $d_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{0}$ . Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ .

A. $2 \sqrt{2}$ .

B. $\frac{1}{2}$ .

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $\{\begin{cases} M (2 + t; 0; 0) \in d_{1} \\ N (1 + s; 1 + s; 1) \in d_{2} \end{cases}$ sao cho $\vec{M N} . \vec{v_{1}} = \vec{M N} . \vec{v_{2}} = 0$ ( $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}$ là các VTCP của $d_{1}, d_{2}$ )

$\vec{M N} = (s - t - 1; s + 1; 1)$

$\{\begin{cases} \vec{M N} . \vec{v_{1}} = s - t - 1 = 0 \\ \vec{M N} . \vec{v_{2}} = s - t - 1 + s + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} s - t = 1 \\ 2 s - t = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} s = - 1 \\ t = - 2 \end{cases}$ .

Vậy $M (0; 0; 0), N (0; 0; 1), |M N| = 1$ .

Câu 48:

17/06/2026

Cho hình hộp đứng $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có đáy là hình bình hành, $A B = a, A D = 2 a$ , $\hat{B A D} = 60^{\circ}, A A^{'} = a \sqrt{3}$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $A^{'} B^{'}, B D, D D^{'}$ và H là hình chiếu của B lên AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $M N, H P$ bằng

A. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

C. $2 a \sqrt{3}$

D. $a \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Qua N vẽ EK song song với $A D (E \in A B, K \in D C)$ .

Qua M vẽ MQ song song với $A^{'} D^{'} (Q \in D^{'} C^{'})$

Ta có $(A A^{'} D^{'} D) / / (E M Q K)$ ,mà $H P \subset (A A^{'} D^{'} D), M N \subset (E M Q K)$ nên

$d_{(M N, H P)} = d_{((A A^{'} D^{'} D), (E M Q K))} = \frac{1}{2} d_{((A^{'} A D D^{'}), (B^{'} B C C^{'}))} = \frac{1}{2} B H = \frac{1}{2} \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

Câu 49:

17/06/2026

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số biết $u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}}$

A. Dãy số tăng, bị chặn dưới.

B. Dãy số tăng, bị chặn.

C. Dãy số giảm, bị chặn trên.

D. Tất cả đều sai.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

$u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} = u_{n} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} > u_{n}$ ,

vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Hơn nữa vì dãy số là tổng các số dương nên bị chặn dưới bởi 0, ta chỉ cần kiểm tra dãy số có bị chặn trên hay không là đủ để chọn phương án đúng.

Ta có

$\begin{array}{l} \frac{1}{2^{2}} < \frac{1}{1.2} = 1 - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3^{2}} < \frac{1}{2.3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \\ .......................... \\ \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{(n - 1) . n} = \frac{1}{(n - 1)} - \frac{1}{n} \end{array}$

Vì vậy $u_{n} < 2 - \frac{1}{n} < 2$ , do đó dãy số bị chặn trên.

Câu 50:

17/06/2026

Cho hình chóp $S . A B C$ có M là điểm di động trên cạnh SA sao cho $\frac{S M}{S A} = k$ . Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng $(A B C)$ . Tìm k để mặt phẳng (α) cắt hình chóp $S . A B C$ theo một thiết diện có diện tích bằng một nửa diện tích tam giác ABC.

A. $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

B. $k = \frac{1}{2}$ .

C. $k = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

D. $k = \frac{1}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi N, P là hai điểm lần lượt thuộc $S B, S C$ thỏa mãn $M N / / A B, M P / / A C$ .

Ta có $\{\begin{cases} M N // A B \Rightarrow M N // (A B C) \\ M P // A C \Rightarrow M P // (A B C) \end{cases} \Rightarrow (M N P) / / (A B C)$ .

Gọi $h_{1}$ là đường cao của ΔMNP ứng với đáy MN.

Gọi $h_{2}$ là đường cao của ΔABC ứng với đáy AB.

Dễ thầy ΔMNP đồng dạng ΔABC ta có $\frac{M N}{A B} = \frac{h_{1}}{h_{2}} = k$ .

Vậy để thỏa mãn yêu cầu bài toán

$\frac{S_{Δ M N P}}{S_{Δ A B C}} = \frac{\frac{1}{2} h_{1} . M N}{\frac{1}{2} h_{2} . A B} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k . k = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3