50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi thptqg môn Toán hay nhất (Đề số 4)

Câu 1:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $4 \log_{4}^{2} x - 2 \log_{2} x + 3 - m = 0$ có nghiệm thuộc đoạn $[2; 4] .$

A. $2 \leq m \leq 3$ .

B. $2 \leq m \leq 4$ .

C. $3 \leq m \leq 4$ .

D. $1 \leq m \leq 2$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $x > 0$ .

$4 \log_{4}^{2} x - 2 \log_{2} x + 3 - m = 0 \Leftrightarrow 4. \frac{1}{4} . \log_{2}^{2} x - 2 \log_{2} x + 3 - m = 0 \Leftrightarrow \log_{2}^{2} x - 2 \log_{2} x + 3 - m = 0 (1) .$

Đặt $t = \log_{2} x$ ta có (1) tương đương

$t^{2} - 2 t + 3 - m = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 2 t + 3 = m .$

Ta tìm giá trị của m để $t^{2} - 2 t + 3 - m = 0$ có nghiệm thuộc đoạn $[1; 2] .$

Khảo sát hàm $y (t) = t^{2} - 2 t + 3.$

Ta có $y^{'} (t) = 2 t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1.$

Bảng biến thiên

Để thỏa mãn đề bài thì $2 \leq m \leq 3$ .

Câu 2:

17/06/2026

Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = f (x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x = - 2, x = 1$ (như hình vẽ). Đặt $a =_{- 2}^{0} f (x), b =_{0}^{1} f (x) d x,$ mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S = a - b$ .

B. $S = b - a$ .

C. $S = a + b$ .

D. $S = - a - b$ .

Xem đáp án

Đáp án A

$S = |\int_{- 2}^{0} f (x)| + |\int_{0}^{1} f (x) d x| = a - b .$

Câu 3:

17/06/2026

Tập hợp các điểm biểu diễn $\frac{z}{|z|}$ là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng

A. 1.

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

C. $\sqrt{2}$ .

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

$|\frac{z}{|z|}| = \frac{|z|}{|z|} = 1.$

Vậy bán kính đường tròn bằng 1.

Câu 4:

17/06/2026

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $\underset{R}{\min y} = 3$ .

B. $y_{C T} = 0$ .

C. $\underset{R}{\max y} = 5$ .

D. $y_{C D} = 5$ .

Xem đáp án

Đáp án D

$y_{C D} = 5$ .

Câu 5:

17/06/2026

Biết $M (0; 2), N (2; - 2)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d .$ Tính giá trị của hàm số tại $x = - 1.$

A. $y (- 1) = 3$ .

B. $y (- 1) = - 3$ .

C. $y (- 1) = - 2$ .

D. $y (- 1) = 2$ .

Xem đáp án

Đáp án C

$y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c .$

Ta có hệ phương trình

$\{\begin{cases} a {.0}^{3} + b {.0}^{2} + c .0 + d = 2 \\ a {.2}^{3} + b {.2}^{2} + c .2 + d = - 2 \\ 3 a {.0}^{2} + 2 b .0 + c = 0 \\ 3 a {.2}^{2} + 2 b .2 + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 3 \\ c = 0 \\ d = 2 \end{cases} .$

Vậy hàm số đó là $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2.$ Ta có $y (- 1) = - 2$ .

Câu 6:

17/06/2026

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} .$

A. $F (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{x} + C$ .

B. $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + C$ .

C. $F (x) = \frac{x^{3}}{3} + 2 x + C$ .

D. $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + C$ .

Xem đáp án

Đáp án D

$\int (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + C .$

Câu 7:

17/06/2026

Cho hàm số $y = - x^{2} + 4 x$ . Giá trị lớn nhất của hàm số bằng

A. 4.

B. $2 \sqrt{2}$

C. 0.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện:

$- x^{2} + 4 x \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 4.$

Ta có $y^{'} = \frac{- x + 2}{\sqrt{- x^{2} + 4 x}} = 0 \Leftrightarrow x = 2.$

Ta có bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2.

Câu 8:

17/06/2026

Cho $a = \log_{2} 3$ và $b = \log_{3} 5.$ Biết rằng $\log_{6} 300 = \frac{m a + n . a b + 2}{1 + a},$ với m và n là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức $m + n .$

A. 2.

B. 3.

C. -1.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

$\log_{6} 300 = \log_{6} 3 + \log_{6} 100 = \log_{6} 3 + 2 \log_{6} 10 = \log_{6} 3 + 2 \log_{6} 2 + 2 \log_{6} 5 = \frac{1}{1 + \log_{3} 2} + \frac{2}{1 + \log_{2} 3} + \frac{2}{\log_{5} 3 + \log_{5} 2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{a}} + \frac{2}{1 + a} + \frac{2}{\frac{1}{b} + \frac{1}{a b}} = \frac{a}{a + 1} + \frac{2}{1 + a} + \frac{2 a b}{a + 1} = \frac{a + 2 a b + 2}{1 + a} .$

Vậy $m = 1, n = 2.$

Ta có $m + n = 3.$

Câu 9:

17/06/2026

Tìm tập nghiệm S của phương trình $\log_{3} (x - 2) + \log_{3} (x + 2) = 2.$

A. $S = \{\pm \sqrt{13}\}$

B. $S = \{\sqrt{13}\}$

C. $S = \{\sqrt{10}\}$

D. $S = \{\pm \sqrt{10}\}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện

$\{\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 2 \\ x > - 2 \end{cases} \Leftrightarrow x > 2.$

$\log_{3} (x - 2) + \log_{3} (x + 2) = 2 \Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} - 4) = 2 \Leftrightarrow x^{2} - 4 = 9 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{13} .$

Vậy $S = \{\sqrt{13}\} .$

Câu 10:

17/06/2026

Cho các mệnh đề sau:

(1) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

(2) Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

(3) Bất kì đường thẳng nào cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cũng cắt mặt phẳng còn lại.

Số mệnh đề sai là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án A

(1) Sai vì $\{\begin{cases} (α) // a \\ (β) // a \\ (α) \cap (β) = d \end{cases} \Rightarrow a / / d$ tức là có trường hợp chúng cắt nhau.

Câu 11:

17/06/2026

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 2} .$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = - 2$ làm tiệm cận đứng.

B. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 1$ làm tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: $x \neq - 2.$

Ta có

$y^{'} = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} > 0 \forall x \neq - 2.$

$\{\begin{cases} \lim_{x \to - 2^{-}} \frac{x - 1}{x + 2} = + \infty \\ \lim_{x \to - 2^{+}} \frac{x - 1}{x + 2} = - \infty \end{cases} \Rightarrow x = - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 1}{x + 2} = 1 \Rightarrow y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 12:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD trong đó $A (2; 3; 1), B (4; 1; - 2), C (6; 3; 7), D (3; - 2; 1) .$ Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh D của tứ diện.

A. $\frac{15}{7}$ .

B. $\frac{30}{\sqrt{7}}$

C. $\sqrt{\frac{30}{7}}$ .

D. $\frac{27}{7}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Viết phương trình mặt phẳng (ABC) ta có

$\vec{A B} = (2; - 2; - 3)$

$\vec{A C} = (4; 0; 6)$

$\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}] = (- 12; - 24; 8) .$

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là

$3 (x - 2) + 6 (y - 3) - 2 (z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 3 x + 6 y - 2 z - 22 = 0.$

Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) là

$d (D, (A B C)) = \frac{|3.3 + 6. (- 2) - 2 - 22|}{\sqrt{3^{2} + 6^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{27}{\sqrt{49}} = \frac{27}{7} .$

Câu 13:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 1 = 0.$ Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. (P) vuông góc với mặt phẳng $(Q) : 2 x + y - 3 = 0$ .

B. Điểm $A (1; 1; 0)$ thuộc (P).

C. Véctơ $\vec{n} = (1; - 2; 1)$ là một véctơ pháp tuyến của (P).

D. (P) song song với trục Oz.

Xem đáp án

Đáp án C

Véctơ $\vec{n} = (1; - 2; 1)$ không phải là một véctơ pháp tuyến của (P).

Câu 14:

17/06/2026

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có các cạnh $A B = a, A D = 2 a, A A^{'} = 3 a .$ Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CB′C′D′.

A. $\frac{\sqrt{3} a}{2}$ .

B. $\frac{\sqrt{14} a}{2}$ .

C. $\sqrt{3} a$

D. $\frac{\sqrt{7} a}{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của B′D′,I là giao điểm của đường trung trực của CC′ và IM.

Dễ thấy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp CC′B′D′.

Ta có

$R = I D^{'} = \sqrt{I M^{2} + M D^{' 2}} = \sqrt{\frac{C C^{' 2}}{4} + \frac{B^{'} D^{' 2}}{4}} = \sqrt{\frac{9 a^{2} + 4 a^{2} + a^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{14} a}{2} .$

Câu 15:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a,SA vuông góc với đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng $60^{0} .$ Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $\frac{4 \sqrt{3} a^{3}}{3}$ .

B. $\frac{8 \sqrt{3} a^{3}}{9}$ .

C. $\frac{4 \sqrt{3} a^{3}}{9}$ .

D. $\frac{8 \sqrt{3} a^{3}}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

$\{\begin{cases} A D ⊥ A B \\ A D ⊥ S A \end{cases} \Leftrightarrow A D ⊥ (S A B) .$

Vậy $(S D, (S A B)) = (S D, S A) = \hat{A S D} = 60^{0} .$

Trong tam giác vuông SAD ta có

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD bằng $S A = A D . \cot \hat{A S D} = \frac{2 a}{\sqrt{3}} .$ $V_{S A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} 4 a^{2} . \frac{2 a}{\sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3} a^{3}}{9} .$

Câu 16:

17/06/2026

Kí hiệu $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} + z + 5 = 0.$ Tính $P = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{1} z_{2} .$

A. $P = 3$ .

B. $P = 4$

C. $P = - 4$

D. $P = 2$ .

Xem đáp án

Đáp án C

$P = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{1} z_{2} = {(z_{1} + z_{2})}^{2} - z_{1} z_{2} = {(- 1)}^{2} - 5 = - 4.$

Câu 17:

17/06/2026

Tính giá trị của biểu thức $P = {(3 + 2 \sqrt{2})}^{2018} {(2 \sqrt{2} - 3)}^{2017} .$

A. $- 3 - 2 \sqrt{2}$ .

B. $2 \sqrt{2} - 3$ .

C. $3 - 2 \sqrt{2}$ .

D. $- 2 - 2 \sqrt{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

$P = {(3 + 2 \sqrt{2})}^{2018} {(2 \sqrt{2} - 3)}^{2017} = {(3 + 2 \sqrt{2})}^{2018} . {(2 \sqrt{2} - 3)}^{2018} . \frac{1}{2 \sqrt{2} - 3} = {[(3 + 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} - 3)]}^{2018} . \frac{1}{2 \sqrt{2} - 3} = - 2 \sqrt{2} - 3.$

Câu 18:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, đường thẳng nào dưới đây đi qua $A (1; 2; 1)$ và song song với đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 1} ?$

A. $d^{'} : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - t \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

B. $d^{'} : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + t \\ z = 1 - t \end{cases}$ .

C. $d^{'} : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - t \\ z = 1 - t \end{cases}$ .

D. $d^{'} : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + t \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

$d^{'} : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + t \\ z = 1 - t \end{cases}$

Câu 19:

17/06/2026

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $(1 + i) z + 2 \bar{z} = 1 + 2 i .$ Tính $P = a + b .$

A. -3

B. -2.

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $z = x + y i, x, y \in ℝ$ .

$(1 + i) z + 2 \bar{z} = 1 + 2 i \Leftrightarrow (1 + i) (x + y i) + 2 (x - y i) = 1 + 2 i \Leftrightarrow x + y i + x i + y i^{2} + 2 x - 2 y i = 1 + 2 i \Leftrightarrow (3 x - y) + (x - y) i = 1 + 2 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y = 1 \\ x - y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{1}{2} \\ y = - \frac{5}{2} \end{cases} .$

Vậy P = -3

Câu 20:

17/06/2026

Hàm số $y = x^{3} - 2 m x^{2} + m^{2} x - 1$ đạt cực tiểu tại x=1 khi

A. m=1

B. m=-3

C. m=3

D. m=-1

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

$y^{'} = 3 x^{2} - 4 m x + m^{2} y^{''} = 6 x - 4 m$

Để thỏa mãn đề bài thì

$\{\begin{cases} y^{'} (1) = 0 \\ y^{''} (1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 4 m + 3 = 0 \\ 6 - 4 m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 3 \end{array} \\ m < \frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow m = 1.$

Vậy m=1 thỏa mãn đề bài.

Câu 21:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - 2 y + z + 3 = 0.$ Gọi $M (a; b; c)$ là điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó

A. $a + b + c = 6$ .

B. $a + b + c = 5$ .

C. $a + b + c = 8$ .

D. $a + b + c = 7$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Tâm $I (1; 2; 3), R = 3.$

Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P), điểm M cần tìm chính là giao điểm của IH với mặt cầu, M là điểm khác phía với H so với điểm I.

$I H : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 3 + t \end{cases} .$

Ta tìm giao điểm của IH với mặt cầu (S).

$4 t^{2} + 4 t^{2} + t^{2} = 9 \Leftrightarrow t = \pm 1.$

Vậy $M (3; 0; 4)$ hoặc $M (- 1; 4; 2)$ . Nhận thấy $M (3; 0; 4)$ có khoảng cách đến (P) lớn hơn.

Vậy $a + b + c = 7.$

Câu 22:

17/06/2026

Biết rằng phương trình $3^{x} {.5}^{\frac{2 x - 1}{x}} = 15$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2} .$ Tính $x_{1}, x_{2} .$

A. 1.

B. $- \log_{3} 5$ .

C. -1.

D. $\log_{3} 5$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 23:

17/06/2026

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 2$ biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x (1 \leq x \leq 2)$ thì thiết diện là hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 2x và $\sqrt{2 x^{2} - 1} .$

A. $V = 2$ .

B. $V = \frac{7 \sqrt{7}}{3}$ .

C. $V = \frac{7 \sqrt{7} - 1}{3}$ .

D. $V = 4$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Diện tích thiết diện là $S = 2 x \sqrt{2 x^{2} - 1} .$

Vậy thể tích V của vật là

$V =_{1}^{2} 2 x \sqrt{2 x^{2} - 1} d x .$

Đặt

$u = \sqrt{2 x^{2} - 1} \Rightarrow d u = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x \Rightarrow d x = \frac{u d u}{2 x}$ .

Vậy $V = \int_{1}^{\sqrt{7}} u^{2} d u = {\frac{u^{3}}{3}|}_{1}^{\sqrt{7}} = \frac{7 \sqrt{7} - 1}{3} .$

Câu 24:

17/06/2026

Cho đa thức $P (x) = {(1 + x)}^{8} + {(1 + x)}^{9} + {(1 + x)}^{10} + {(1 + x)}^{11} + {(1 + x)}^{12}$ . Khai triển và rút gọn ta được đa thức: $P (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{12} x^{12}$ . Tìm hệ số $a_{8}$ .

A. 700.

B. 730.

C. 720.

D. 715.

Xem đáp án

Đáp án D

$a_{8} = C_{8}^{8} + C_{9}^{8} + C_{10}^{8} + C_{11}^{8} + C_{12}^{8} = 1 + 9 + 45 + 165 + 495 = 715$

Câu 25:

17/06/2026

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $3^{x + 1} - \frac{1}{3} > 0.$

A. $(- 1; + \infty)$ .

B. $(- \infty; - 2)$ .

C. $(- 2; + \infty)$ .

D. $(- \infty; - 1)$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 26:

17/06/2026

Điểm cực tiểu của hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 1$ là

A. $(1; 3)$

B. $(0; 1)$ .

C. $(- 1; 1)$ .

D. $(2; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án C

TXĐ: $D = ℝ$ .

$y^{'} = - 3 x^{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array} .$

Ta có bảng biến thiên

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(- 1; - 1) .$

Câu 27:

17/06/2026

Gọi P là tập hợp gồm 4 điểm phân biệt nằm trên một đường tròn. Số các tam giác có 3 đỉnh thuộc P được tính bằng

A. số các chỉnh hợp chập 3 của phần tử thuộc P.

B. số các tổ hợp chập 4 của các phần tử thuộc P.

C. số các tổ hợp chập 3 của các phần tử thuộc P.

D. số các hoán vị của các phần tử thuộc P.

Xem đáp án

Đáp án C

Số các tam giác có 3 đỉnh thuộc P là $C_{4}^{3}$ .

Câu 28:

17/06/2026

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. ${(- \frac{5}{2})}^{n}$ .

B. ${(\frac{3}{4})}^{n}$ .

C. ${(- \frac{4}{3})}^{n}$ .

D. ${(\frac{4}{3})}^{n}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

$\lim q^{n} = 0$ với mọi q thỏa mãn $|q| < 1.$

Câu 29:

17/06/2026

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \log (x^{2} + x) .$

A. $y^{'} = \frac{2 x + 1}{(x^{2} + x) \log 10}$ .

B. $y^{'} = \frac{2 x + 1}{\ln 10}$ .

C. $y^{'} = \frac{2 x + 1}{(x^{2} + x) \ln 10}$ .

D. $y^{'} = \frac{1}{(x^{2} + x) \ln 10}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

$y^{'} = \frac{2 x + 1}{(x^{2} + x) \ln 10}$

Câu 30:

17/06/2026

Cho $_{0}^{1} \frac{d x}{e^{x} + 1} = a + b \ln \frac{1 + e}{2}$ với a,b là các số hữu tỷ. Tính $S = a + b$

A. $S = 2$ .

B. $S = 0$ .

C. $S = 1$ .

D. $S = - 1$ .

Xem đáp án

Đáp án B

$u = e^{x} + 1 \Rightarrow d u = e^{x} d x \Rightarrow d x = \frac{d u}{u - 1} .$

$\int_{2}^{e + 1} \frac{d u}{u (u - 1)} = \int_{2}^{e + 1} (\frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}) d u = {\ln |\frac{u - 1}{u}||}_{2}^{e + 1} = \ln \frac{2 e}{e + 1} = - \ln \frac{e + 1}{2 e} = - (\ln \frac{e + 1}{2} - \ln e) = 1 - \ln \frac{e + 1}{2} .$

$a = 1, b = - 1 \Rightarrow S = a + b = 0.$

Câu 31:

17/06/2026

Thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là

A. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{12}$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

D. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

$V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} . A A^{'} = \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} . a = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{4} .$

Câu 32:

17/06/2026

Số nào sau đây là nghiệm của phương trình $2 \cos 2 x + 1 = 0$ trong khoảng $(- π; π)$ ?

A. $- \frac{π}{6}$ và $\frac{7 π}{12}$ .

B. $- \frac{π}{6}$ và $\frac{π}{6}$ .

C. $- \frac{π}{3}$ và $\frac{π}{3}$ .

D. $\frac{π}{3}$ và $\frac{π}{6}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

$\cos 2 x = \frac{- 1}{2} = \cos (\frac{2 π}{3}) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \\ 2 x = - \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k π \\ x = - \frac{π}{3} + k π \end{array}, k \in Z$

Vì x thuộc $(- π; π)$ nên phương trình có hai nghiệm là $\frac{π}{3}$ và $- \frac{π}{3}$ .

Câu 33:

17/06/2026

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ trên $[0; 1]$ là

A. $(\sqrt{2}; 0)$

B. $(1; 0)$

C. $(2; 0)$

D. $(1; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 34:

17/06/2026

(Đề tham khảo của Bộ) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (m^{2} - 1) x$ có hai điểm cực trị là A và B sao cho A,B nằm khác phía và cách đều đường thẳng $y = 5 x - 9.$ Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. -1.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 35:

17/06/2026

Tính môđun của số phức z biết $\bar{z} = (2 + i) (2 i - 1) .$

A. $|z| = 5$

B. $|z| = 3$

C. $|z| = 5 \sqrt{2}$ .

D. $|z| = 4$

Xem đáp án

Đáp án A

$\bar{z} = (2 + i) (2 i - 1) = 4 i - 2 + 2 i^{2} - i = - 4 + 3 i . |z| = |\bar{z}| = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 3^{2}} = 5.$

Câu 36:

17/06/2026

Cho a là số thực dương, $a \neq 1$ và $P = \log_{\sqrt[3]{a}} a^{\frac{1}{2}}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = \frac{1}{2}$

B. $P = 2$

C. $P = \frac{2}{3}$

D. $P = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

$P = \log_{\sqrt[3]{a}} a^{\frac{1}{2}} = \log_{a^{\frac{1}{3}}} a^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \log_{a} a = \frac{3}{2} .$

Câu 37:

17/06/2026

Đồ thị hàm số $y = x^{4} - 8 x^{3} + 1$ nghịch biến trên khoảng nào (khoảng lớn nhất)?

A. $(0; 6)$

B. $(6; + \infty)$

C. $(- \infty; 8)$

D. $(- \infty; 6)$

Xem đáp án

Đáp án D

TXĐ: $D = ℝ$ .

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 24 x^{2} = 4 x^{2} (x - 6) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 6 \end{array} .$

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 6)$ .

Câu 38:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (1; 2; 2), B (5; 4; 4)$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + y - z + 6 = 0.$ Nếu M thay đổi và thuộc (P) thì giá trị nhỏ nhất của $\vec{M A} . \vec{M B}$ là

A. 8.

B. 18.

C. 16.

D. 13.

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 39:

17/06/2026

Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $2 π a^{2},$ bán kính đáy bằng a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho.

A. $l = \frac{a}{2}$ .

B. $l = 2 a$ .

C. $l = a$

D. $l = \sqrt{2} a$

Xem đáp án

Đáp án B

$S_{x q} = π R l = π a l = 2 π a^{2} \Rightarrow l = 2 a .$

Câu 40:

17/06/2026

Cho tứ diện ABCD có cạnh AB,AC,AD đôi một vuông góc. Biết rằng $A B = A C = 2 a$ và góc tạo bởi hai mặt phẳng (DCB) và (ABC) bằng $60^{0} .$ Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

A. $\frac{2 \sqrt{6} a^{3}}{3}$

B. $\frac{4 \sqrt{6} a^{3}}{3}$

C. $2 \sqrt{6} a^{3}$

D. $4 \sqrt{6} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 41:

17/06/2026

Cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 13$ và công sai $d = - 3$ . Số hạng $u_{31}$ của dãy số đó là

A. 87

B. -87

C. -77

D. 77

Xem đáp án

Đáp án C

$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d \Rightarrow u_{31} = 13 + 30. (- 3) = - 77$

Câu 42:

17/06/2026

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết $O A^{'} = a .$ Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$ .

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{3}$ .

C. $\sqrt{3} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án C

$V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} . O A^{'} = \sqrt{3} a^{3} .$

Câu 43:

17/06/2026

Cho hàm số $f (x)$ thỏa mãn $_{0}^{1} (x + 1) f^{'} (x) d x = 8$ và $2 f (1) - f (0) = 4.$ Tính $I =_{0}^{1} f (x) .$

A. $I = 4$

B. $I = 8$

C. $I = - 4$

D. $I = 12$

Xem đáp án

Đáp án C

$u = x + 1 \Rightarrow d u = d x$

$f^{'} (x) d x = d v \Rightarrow v = \int f^{'} (x) d x = f (x)$

$I_{1} = {(x + 1) . f (x)|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} f (x) d x = 2. f (1) - f (0) - \int_{0}^{1} f (x) d x = 8 \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = 4 - 8 = - 4.$

Câu 44:

17/06/2026

Cho khối chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SB,SC lần lượt tại I,J. Tính tỉ số thể tích của hai khối tứ diện SAIJ và SABC.

A. $\frac{1}{9}$ .

B. $\frac{4}{9}$ .

C. $\frac{1}{3}$ .

D. $\frac{2}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

$\frac{V_{S A I J}}{V_{S A B C}} = \frac{S I}{S B} . \frac{S J}{S C} = \frac{2}{3} . \frac{2}{3} = \frac{4}{9} .$

Câu 45:

17/06/2026

Cho biết $_{1}^{2} \ln (9 - x^{2}) d x = a \ln 5 + b \ln 2 + c$ với a,b,c là các số nguyên. Tính $S = a + b + c .$

A. $S = - 3$ .

B. $S = 13$ .

C. $S = 11$ .

D. $S = 3$ .

Xem đáp án

Đáp án A

$u = \ln (9 - x^{2}) \Rightarrow d u = \frac{- 2 x}{9 - x^{2}} d x d v = d x \Rightarrow v = x$

$\int_{1}^{2} l n (9 - x^{2}) d x = {x . l n (9 - x^{2})|}_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{- 2 x^{2}}{9 - x^{2}} d x = {x . l n (9 - x^{2})|}_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{2 x^{2}}{9 - x^{2}} d x = {x . l n (9 - x^{2})|}_{1}^{2} + \int_{1}^{2} (- 2 + \frac{18}{9 - x^{2}}) d x$

$= {x . \ln (9 - x^{2})|}_{1}^{2} - {2 x|}_{1}^{2} + \int_{1}^{2} 3 (\frac{1}{3 - x} + \frac{1}{3 + x}) d x = {x . \ln (9 - x^{2})|}_{1}^{2} - {2 x|}_{1}^{2} + {3 \ln |\frac{3 + x}{3 - x}||}_{1}^{2} = 5 \ln 5 - 6 \ln 2 - 2.$

Vậy $S = 5 - 6 - 2 = - 3.$

Câu 46:

17/06/2026

Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện $|z - i| = 4$ và z là số thuần ảo?

A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $z = x + y i, x, y \in ℝ$ .

Ta có $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16, x = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} y = - 3 \\ y = 5 \end{array} .$

Vậy có 2 số phức thỏa mãn đề bài

Câu 47:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA=a. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa AM và BD bằng.

A. $45^{\circ}$

B. $90^{\circ}$

C. $30^{\circ}$

D. $60^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 48:

17/06/2026

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d : y = 9 x$ .

A. $y = 9 x + 32$ .

B. $y = 9 x - 40$ .

C. $y = 9 x + 40$ .

D. $y = 9 x - 32$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 49:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC thỏa mãn $A B = A C = 4, \hat{B A C} = 30^{\circ}$ . Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt SA tại M sao cho $S M = 2 M A$ . Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu ?

A. $\frac{16}{9}$

B. $\frac{14}{9}$

C. $\frac{25}{9}$

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 50:

17/06/2026

Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đội một vuông góc, $O A = a, O B = b, O C = c$ . Tính khoảng cách d từ O tới mặt phẳng (ABC).

A. $d = \frac{a b c}{\sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}}$

B. $d = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}{3}$

C. $d = \frac{a b + b c + c a}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

D. $d = \frac{a^{2} b^{2} c^{2}}{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC) nên $O H ⊥ (A B C) \Rightarrow O H ⊥ B C (1)$ .

Mặt khác $O A ⊥ O B, O A ⊥ O C \Rightarrow O A ⊥ (O B C) \Rightarrow O A ⊥ B C (2)$ .

Từ (1),(2) suy ra $B C ⊥ (A O H) \Rightarrow B C ⊥ A H$ . Chứng minh tương tự ta được $A B ⊥ C H$ . Suy ra H là trực tâm của ΔABC.

Trong mặt phẳng (ABC) gọi E là giao điểm của AH và BC.

Ta có $O H ⊥ (A B C) \Rightarrow O H ⊥ A E$ tại H.

$O A ⊥ (A B C) \Rightarrow O A ⊥ O E$ tức là OH là đường cao của tam giác vuông OAE.

Mặt khác OE là đường cao của tam giác vuông OBC.

Do đó: $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O E^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ .

$\Leftrightarrow \frac{1}{d^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \Rightarrow d = \frac{a b c}{\sqrt{b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} b^{2}}}$ .

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3