50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi thptqg môn Toán hay nhất (Đề số 1)

Câu 1:

17/06/2026

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = 2 |x|, y = x^{2} + 1.$

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{2}{3}$

D. 1

Xem đáp án

Diện tích hình phẳng

$S = 2 \int_{0}^{1} (x^{2} - 2 x + 1) d x = \frac{2}{3} .$

Câu 2:

17/06/2026

Cho hình chóp?.???, đáy ??? là tam giác vuông tại A và BC=4a Cạnh bên SA=4a và vuông góc với đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp là

A. $16 π a^{2}$

B. $32 π a^{2}$

C. $24 π a^{2}$

D. $18 𝜋 a^{2}$

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của BC. I là giao điểm của đường thẳng song song với SA tại M và đường trung trực của SA.

Dễ dàng chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Ta có $R = I B = \sqrt{I M^{2} + M B^{2}} = \sqrt{4 a^{2} + 4 a^{2}} = 2 \sqrt{2} a .$

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp là $S = 4 π R^{2} = 4 π 8 a^{2} = 32 π a^{2} .$

Câu 3:

17/06/2026

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. $l o g a \Leftrightarrow 0 < a < 1$

B. $l n a > 0 \Leftrightarrow a > 1$

C. $\log_{\frac{1}{2}} a > \log_{\frac{1}{2}} b \Leftrightarrow a > b > 0$

D. $\log_{\frac{1}{5}} a = \log_{\frac{1}{5}} b \Leftrightarrow a = b > 0$

Xem đáp án

Đáp án C

$\log_{\frac{1}{2}} a > \log_{\frac{1}{2}} b \Leftrightarrow a > b > 0.$

Câu 4:

17/06/2026

Cho $\log_{4} x = \log_{6} y = \log_{9} (x + y) .$ Giá trị của tỉ số $\frac{x}{y}$ là

A. $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

B. $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

C. $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

D. $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $\{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases} .$

Đặt $t = \log_{4} x = \log_{6} y = \log_{9} (x + y)$ ta có

$\{\begin{cases} x = 4^{t} \\ y = 6^{t} \\ x + y = 9^{t} \end{cases}$

Ta có

$\begin{array}{l} 4^{t} + 6^{t} = 9^{t} \\ \Leftrightarrow {(\frac{2}{3})}^{2 t} + {(\frac{2}{3})}^{t} = 1 \\ \Leftrightarrow {(\frac{2}{3})}^{t} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} . \end{array}$

Vậy $\frac{x}{y} = {(\frac{4}{6})}^{t} = {(\frac{2}{3})}^{t} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Câu 5:

17/06/2026

Cho các mệnh đề sau

(I) Trên tập hợp các số phức thì phương trình bậc hai luôn có nghiệm

(II) Trên tập hợp các số phức thì số thực âm không có căn bậc hai

(III) Môđun của một số phức không phải là một số phức

(IV) Môđun của một số phức là một số thực dương

Trong bốn mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 2

B. 4

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

(I) Trên tập hợp các số phức thì phương trình bậc hai luôn có nghiệm.

Câu 6:

17/06/2026

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{\frac{2}{3}} [\log_{3} |x - 3|] \geq 0$

A. 6

B. 5

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: $\{\begin{cases} x \neq 3 \\ \log_{3} |x - 3| > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 3 \\ [\begin{array}{l} x > 4 \\ x < 2 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 4 \\ x < 2 \end{array} .$

$\log_{\frac{2}{3}} [\log_{3} |x - 3|] \geq 0$

$\Leftrightarrow \log_{3} |x - 3| \leq 1$

$\Leftrightarrow |x - 3| \leq 3$ $\Leftrightarrow 0 \leq x \leq 6.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[\begin{array}{l} 0 \leq x < 2 \\ 4 < x \leq 6 \end{array}$

Câu 7:

17/06/2026

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111... được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{a}{b} .$ Tính tổng T=a+b

A. 17

B. 137

C. 68

D. 133

Xem đáp án

Đáp án D

$0,5111... = 0,5 + 0,01 + 0,001 + .... = 0,5 + \frac{0,01}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{23}{45}$

Vậy $T = 23 + 45 = 68.$

Câu 8:

17/06/2026

Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $A (1; - 2; 3)$ và $B (2; 0; 0) .$ Phương trình tham số của đường thằng AB là

A. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 - 2 t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = 3 + 3 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án C

$\vec{A B} = (1; 2; - 3) .$

Vậy phương trình tham số của AB là $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = 3 - 3 t \end{cases} .$

Câu 9:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A (- 1; 0; 1),$ $B (- 2; 3; 0),$ $C (1; 1; 1),$ $D (2; 1; 1)$ .Tìm hình chiếu của D lên mặt phẳng (ABC).

A. $H (\frac{107}{54}; \frac{- 28}{27}; \frac{61}{54})$

B. $H (\frac{107}{54}; \frac{28}{27}; \frac{61}{54})$

C. $H (\frac{107}{27}; \frac{28}{27}; \frac{61}{54})$

D. $H (\frac{107}{54}; \frac{28}{27}; \frac{61}{27})$

Xem đáp án

Đáp án A

$\begin{array}{l} \vec{A B} = (- 1; 3; - 1), \vec{A C} = (2; 1; 0) \\ \Rightarrow \vec{n} = (1; - 2; - 7) . \end{array}$

Phương trình mặt phẳng $(A B C) : (x + 1) - 2 y - 7 (z - 1) = x - 2 y - 7 z + 8 = 0$

Gọi H là hình chiếu của D lên mặt phẳng (ABC) ta có

$D H : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2 t \\ z = 1 - 7 t \end{cases}$

Ta tìm tọa độ điểm H

$\begin{array}{l} (2 + t) - 2 (1 - 2 t) - 7 (1 - 7 t) + 8 = 0 \\ \leftrightarrow 54 t = - 1 \Rightarrow t = - \frac{1}{54} . \end{array}$

Vậy $H (\frac{107}{54}; \frac{28}{27}; \frac{61}{54}) .$

Câu 10:

17/06/2026

Cho lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là các tam giác đều cạnh $1, A A^{'} = \sqrt{3} .$ Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng $(A^{'} B C) .$

A. $\frac{\sqrt{15} a}{3}$

B. $\frac{\sqrt{5} a}{3}$

C. $\frac{\sqrt{15} a}{5}$

D. $\frac{\sqrt{5} a}{5}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi I là trung điểm của BC, trong mặt phẳng (A′AI) kẻ AH vuông góc với A′I.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} B C ⊥ A I \\ B C ⊥ (A A^{'}) \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ A H . \\ \{\begin{cases} A H ⊥ B C (c m t) \\ A H ⊥ A^{'} I \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (A^{'} B C) . \end{array}$

Vậy $d (A, (A^{'} B C)) = A H .$

Ta có

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A A^{' 2}} + \frac{1}{A I^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{1}{{(\frac{\sqrt{3} a}{2})}^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{5}{3 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{\sqrt{15} a}{5} .$

Câu 11:

17/06/2026

Cho biết $_{0}^{1} \ln (9 - x^{2}) d x = a \ln 2 + b$ với a,b là các số nguyên. Tính S=|a+b|.

A. 2

B. 4

C. 8

D. 6

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt

$u = \ln (9 - x^{2}) \Rightarrow d u = \frac{- 2 x}{9 - x^{2}}$

$d v = d x \Rightarrow v = x$

$I = {x . \ln (9 - x^{2})|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{- 2 x^{2}}{9 - x^{2}} d x$

$= {x . \ln (9 - x^{2})|}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} (- 2 + \frac{18}{9 - x^{2}}) d x$

$= \ln 8 - 2 + {3 \ln |\frac{3 + x}{3 - x}||}_{0}^{1} = \ln 8 - 2 + 3 \ln 2 = 6 l n 2 - 2$

Vậy $S = |6 - 2| = 4.$

Câu 12:

17/06/2026

Cho khối chóp $S . A B C$ , trên ba cạnh $S A, S B, S C$ lần lượt lấy ba điểm $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ sao cho $S A^{'} = \frac{2}{3} A A^{'}, S B^{'} = \frac{1}{4} S B, S C^{'} = \frac{1}{2} C C^{'} .$ Gọi V và V′ lần lượt là thể tích của các khối chóp $S . A B C$ và $S . A' B' C' .$ Khi đó tỉ số $\frac{V^{'}}{V}$ là

A. $\frac{1}{30}$

B. $\frac{1}{24}$

C. $\frac{1}{8}$

D. $\frac{1}{8}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

$\begin{array}{l} \frac{S A^{'}}{S A} = \frac{2}{5}; \frac{S B^{'}}{S B} = \frac{1}{4}; \frac{S C^{'}}{S C} = \frac{1}{3} . \\ \Rightarrow \frac{V_{S A^{'} B^{'} C^{'}}}{V_{S A B C}} = \frac{2}{5} . \frac{1}{4} . \frac{1}{3} = \frac{1}{30} . \end{array}$

Câu 13:

17/06/2026

Tập xác định của hàm số $y = \log_{e} (2^{x} - 2)$ là

A. $[1; + \infty)$

B. $ℝ$

C. $(1; + \infty)$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện $2^{x} - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1$ .

Câu 14:

17/06/2026

Cho các hàm số $y = \log_{2} x, y = {(\frac{e}{π})}^{x}, y = \ln x, y = 3^{x} .$ Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó?

A. 3

B. 2

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó là $y = {(\frac{e}{π})}^{x} .$

Câu 15:

17/06/2026

Cho lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=2a cạnh bên AA'=2a. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. $\frac{4 a^{3}}{3}$

B. $\frac{8 a^{3}}{3}$

C. $8 a^{3}$

D. $4 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

$V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} . A A^{'} = \frac{1}{2} 2 a .2 a .2 a = 4 a^{3} .$

Câu 16:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m - 1) x^{2} + (m - 1) x + m^{2}$ có hai điểm cực trị nằm về phía bên phải trục tung.

A. $m < 0$

B. $m < 1$

C. $m > 2$

D. $m > 0$

Xem đáp án

Đáp án C

TXĐ: $D = ℝ$ .

Ta có $y^{'} = x^{2} - 2 (m - 1) x + (m - 1) .$

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung thì

$\{\begin{cases} {(m - 1)}^{2} - (m - 1) > 0 \\ m - 1 > 0 \\ 2 (m - 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > 2.$

Vậy m>2 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 17:

17/06/2026

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12 = 0.$ Tính giá trị biểu thức $P = |z_{1}| - |z_{2}| .$

A. 4

B. 8

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12 = 0 \Leftrightarrow x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3) = 0 \Leftrightarrow (x - 3) (x^{2} + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 i \\ x = - 2 i \\ x = 3 \end{array} . \end{array}$

Vậy $|z_{1}| - |z_{2}| = 0.$

Câu 18:

17/06/2026

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn [−2;2] và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình $|f (x)| = 1$ trên đoạn [−2;2].

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Xem đáp án

Đáp án D

Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Nhận thấy phương trình $|f (x)| = 1$ có 6 nghiệm trong đoạn [−2;2].

Câu 19:

17/06/2026

Giả sử số phức $z = - 1 + i - i^{2} + i^{3} - i^{4} + i^{5} - ... - i^{99} + i^{100} - i^{101} .$ Lúc đó tổng phần thực và phần ảo của số phức z là

A. 0

B. 1

C. i

D. -1

Xem đáp án

Đáp án A

$\begin{array}{l} z = - 1 + i - i^{2} + i^{3} - i^{4} + i^{5} - ... + i^{99} - i^{100} + i^{101} \\ = - 1 + i + i^{2} (- 1 + i) + i^{4} (- 1 + i) + .... + i^{100} (- 1 + i) \\ = (- 1 + i) (1 + i^{2} + i^{4} + ... + i^{100}) \\ = (- 1 + i) \frac{1 (1 - i^{2.51})}{1 - i^{2}} = - 1 + i . \end{array}$

Câu 20:

17/06/2026

Cho hình chóp đều $S . A B C D$ có chiều cao bằng $\sqrt{2} a$ và độ dài cạnh bên bằng 2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. $\frac{4 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

B. $\sqrt{2} a^{3}$

C. $4 \sqrt{2} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 21:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba véctơ $\vec{a} (1; - 1; 0)$ , $\vec{b} (1; 1; 0)$ , $\vec{c} (1; 1; 1) .$ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\vec{a} . \vec{b} = 0$

B. $|\vec{c}| = \sqrt{3}$

C. $\vec{b} . \vec{c} = 0$

D. $|\vec{a}| = \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

$\vec{b} . \vec{c} = 2.$

Câu 22:

17/06/2026

Phát biểu nào dưới đây là định lý Thales trong không gian

A. Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyết song song các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

B. Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyết bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

C. Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyết song song các đoạn thẳng tương ứng bằng nhau

D. Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyết bất kì các đoạn thẳng tương ứng bằng nhau

Xem đáp án

Đáp án B

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Câu 23:

17/06/2026

Hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ là

A. 4

B. -4

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: $D = ℝ$ .

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow 3 x (x - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} .$

Ta có bảng biến thiên

Vậy hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số là 4.

Câu 24:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + 3 t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}, d_{2} : \{\begin{cases} x = - 1 - 2 t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}$ là

A. Song song

B. Chéo nhau

C. Cắt nhau

D. Trùng nhau

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

$\vec{u_{1}} = (2; 3; 2), \vec{u_{2}} (- 2; 2; - 3), M_{1} (1; - 2; 2), M_{2} (- 2; 2; 3) .$

$[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} = 57 \neq 0.$

Vậy $d_{1}$ và $d_{2}$ chéo nhau.

Câu 25:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + m$ có giá trị nhỏ nhất trên [−1;1] bằng 1.

A. m= -1

B. m=1

C. m=3

D. m=-3

Xem đáp án

Đáp án B

TXĐ: $D = ℝ$ .

$y^{'} = 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow 3 x (x + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 0 \end{array} .$

Ta có bảng biến thiên

Nhận thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + m$ đạt tại x=0 Ta có $y (0) = m = 1.$

Vậy m=1 thỏa mãn đề bài.

Câu 26:

17/06/2026

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - x}{x + 1}$ là

A. $2 \sqrt{10}$

B. $3 \sqrt{2}$

C. $\sqrt{\frac{15}{2}}$

D. $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $x \neq - 1.$

Ta có

$y^{'} = \frac{(2 x - 1) (x + 1) - x^{2} + x}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{2 x^{2} + x - 1 - x^{2} + x}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 + \sqrt{2} \\ x = - 1 - \sqrt{2} \end{array} .$

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $A (- 1 + \sqrt{2}; \frac{4 - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}), B (- 1 - \sqrt{2}, \frac{- 4 - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}) .$

Ta có $A B = \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} + {(\frac{- 8}{\sqrt{2}})}^{2}} = 2 \sqrt{10} .$

Câu 27:

17/06/2026

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên [1;+∞) và $_{0}^{3} f (\sqrt{x + 1}) d x = 8.$ . Tích phân $I =_{1}^{2} x . f (x) d x$ bằng

A. 4

B. 2

C. 8

D. 6

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $I =_{1}^{2} x . f (x) d x$

$_{1}^{3} f (\sqrt{x + 1}) d x = 2_{1}^{2} u f (u) d u \Rightarrow_{1}^{2} x f (x) d x = \frac{8}{2} = 4.$

Câu 28:

17/06/2026

Nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ thỏa mãn $F (0) = 1$ là

A. $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x + 1$

B. $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x + 1$

C. $F (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + x + 1$

D. $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + x + 1$

Xem đáp án

Đáp án D

$\int (x^{2} - 3 x + 1) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + x + C .$

Vậy $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + x + 1.$

Câu 29:

17/06/2026

Rút gọn biểu thức $M = \frac{1}{\log_{a} x} + \frac{1}{\log_{a^{2}} x} + ... + \frac{1}{\log_{a^{k}} x}$ ta được

A. $k (k + 1) \log_{x} a$

B. $\frac{k (k + 1)!}{2} \log_{x} a$

C. $(k!) \log_{x} a$

D. $\frac{k (k + 1)}{2} \log_{x} a$

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} M = \frac{1}{\log_{a} x} + \frac{1}{\log_{a^{2}} x} + ... + \frac{1}{\log_{a^{k}} x} \\ = \log_{x} a + \log_{x} a^{2} + ... + l o g_{x} a^{k} \\ = \log_{x} a + 2 \log_{x} a + ... + k \log_{x} a \\ = (1 + 2 + ... + k) \log_{x} a \\ = \frac{k (k + 1)}{2} \log_{x} a . \end{array}$

Câu 30:

17/06/2026

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều cạnh 4a. Một mặt phẳng qua đỉnh S của nón và cắt vòng tròn đáy tại hai điểm A và B. Biết số đo góc ASB bằng $30 °$ diện tích tam giác SAB bằng

A. $12 a^{2}$

B. $16 a^{2}$

C. $8 a^{2}$

D. $4 a^{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Trong tam giác vuông SIA ta có

$S A = \sqrt{S I^{2} + I A^{2}} = \sqrt{{(2 \sqrt{3} a)}^{2} + {(2 a)}^{2}} = 4 a .$

Tương tự ta có $S B = 4 a .$

Trong tam giác SAB có

$S A = S B = 4 a, \hat{A S B} = 30^{0} \Rightarrow S_{S A B} = \frac{1}{2} S A . S B . \sin 30^{0} = \frac{1}{2} .4 a .4 a . \frac{1}{2} = 4 a^{2} .$

Câu 31:

17/06/2026

Phương trình $z^{2} + i z + 2 = 0$ có tập nghiệm là

A. $\{2 i; 4 i\}$

B. $\{i; - 2 i\}$

C. $\{\frac{- 1 + 3 i}{2}; \frac{- 1 - 3 i}{2}\}$

D. $\{- 1 + 3 i; - 1 - 3 i\}$

Xem đáp án

Đáp án B

$\begin{array}{l} z^{2} + i z + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = \frac{- i + 3 i}{2} = i \\ z = \frac{- i - 3 i}{2} = - 2 i \end{array} . \end{array}$

Câu 32:

17/06/2026

Tính mô đun của số phức z thỏa mãn $z (2 + 3 i) + i = z .$

A. $\frac{1}{\sqrt{10}}$

B. $\sqrt{3}$

C. $\sqrt{10}$

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

$\begin{array}{l} z (2 + 3 i) + i = z \\ \Leftrightarrow z (2 + 3 i - 1) = - i \\ \Leftrightarrow z = \frac{- i}{1 + 3 i} = \frac{- i (1 - 3 i)}{1 - 9 i^{2}} = \frac{- 3 - i}{10} = - \frac{3}{10} - \frac{i}{10} . \end{array}$

Vậy $|z| = \sqrt{\frac{9}{100} + \frac{1}{100}} = \frac{1}{\sqrt{10}} .$

Câu 33:

17/06/2026

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , biết $A C = \sqrt{3}, C D^{'} = 2, D^{'} A = \sqrt{5}$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(A C D^{'})$ và $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ là α, tan α bằng

A. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{30}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\{\begin{cases} A D^{2} + D C^{2} = 3 \\ A D^{2} + D {D^{'}}^{2} = 5 \\ D C^{2} + D {D^{'}}^{2} = 4 \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} A D = \sqrt{2} \\ D C = 1 \\ D D^{'} = \sqrt{3} \end{cases}$

Diện tích $S_{A C D^{'}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$ , $S_{A^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vì $A^{'} C^{'} D^{'}$ là hình chiếu vuông góc của $A C D^{'}$ lên $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$

nên $S_{A^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A C D^{'}} . \cos α$ $\Rightarrow \cos α = \frac{S_{A^{'} C^{'} D^{'}}}{S_{A C D^{'}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$ .

Từ đó $\tan α = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} α} - 1} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

Câu 34:

17/06/2026

Đặt T là tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình
$\frac{1}{6 - \log_{2} (4 x)} + \frac{2}{2 + \log_{2} x} = 1.$ Vậy T bằng

A. 6

B. 20

C. 36

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện:

$\{\begin{cases} x > 0 \\ \log_{2} (4 x) \neq 6 \\ \log_{2} x \neq - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 16 \\ x \neq \frac{1}{4} \end{cases} .$

$\begin{array}{l} \frac{1}{6 - \log_{2} (4 x)} + \frac{2}{2 + \log_{2} x} = 1 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{4 - \log_{2} x} + \frac{2}{2 + \log_{2} x} = 1 \\ \Leftrightarrow \frac{2 + \log_{2} x + 8 - 2 \log_{2} x}{(4 - \log_{2} x) (2 + \log_{2} x)} = 1 \\ \Leftrightarrow 10 - \log_{2} x = - {\log^{2}}_{2} x + 2 \log_{2} x + 8 \\ \Leftrightarrow - {\log^{2}}_{2} x + 3 \log_{2} x - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} x = 1 \\ \log_{2} x = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 4 \end{array} . \end{array}$

Vậy tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình bằng 20

Câu 35:

17/06/2026

Giới hạn $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} - 3 x + 5} + a x) = + \infty$ nếu:

A. $a \leq 1$

B. $a < 1$

C. $a \geq 1$

D. $a > 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

Câu 36:

17/06/2026

Cho 2a+b=2 và $\lim_{x \to 2} \frac{a x^{2} + b x - 4}{x - 2} = 5$ . Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $a = - 1; b = 4$

B. $a = \frac{3}{2}; b = - 1$

C. $a = 1; b = 0$

D. $a = - 2; b = 6$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $2 a + b = 2 \Leftrightarrow b = 2 - 2 a$

Suy ra :
$\lim_{x \to 2} \frac{a x^{2} + b x - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{a x^{2} + (2 - 2 a) x - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (a x + 2)}{x - 2} = 2 a + 2 = 5$ .

Nên $a = \frac{3}{2} \Rightarrow b = - 1$

Câu 37:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{2 x}{x - 2}$ cắt đường thẳng $y = x + m$ tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB nhận $G (1; \frac{5}{3})$ làm trọng tâm.

A. m=3

B. m=4

C. m=1

D. m=7

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện: x≠2.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình

$\begin{array}{l} \frac{2 x}{x - 2} = x + m \\ \Leftrightarrow \frac{2 x}{x - 2} - x - m = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{2 x - x^{2} + 2 x - m x + 2 m}{x - 4} = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{- x^{2} + (4 - m) x + 2 m}{x - 2} = 0. \end{array}$

Để hai đồ thị hàm số giao nhau tại hai điểm phân biệt A,B ta có

$\{\begin{cases} {(4 - m)}^{2} + 8 m > 0 \\ g (2) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} + 16 > 0 \\ - 4 + 8 - 2 m + 2 m \neq 0 \end{cases}$

thỏa mãn với mọi $m \in ℝ$ .

Theo bài ra ta có $\{\begin{cases} x_{A} + x_{B} + x_{O} = 3 \\ x_{A} + m + x_{B} + m + y_{O} = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 - m = 3 \\ 4 - m + 2 m = 5 \end{cases} \Leftrightarrow m = 1$ .

Vậy m=1 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 38:

17/06/2026

Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 và đường tròn (C) có tâm A, đường kính 10. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình quanh trục là đường AC.

A. $\frac{1000 π + 375 π \sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{1000 π + 375 π \sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{500 π + 125 π \sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{500 π + 375 π \sqrt{2}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra $S = S_{1} + S_{2} .$

$S_{1} = π_{- \frac{5 \sqrt{2}}{2}}^{5} {(\sqrt{25 - x^{2}})}^{2} d x = \frac{500 π}{3} .$

$S_{2} = \frac{1}{3} π {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{3} = \frac{π .125.2 \sqrt{2}}{3.8} = \frac{125 π \sqrt{2}}{6}$

Vậy $S = \frac{1000 π + 125 π \sqrt{2}}{6} .$

Câu 39:

17/06/2026

Số giá trị của tham số m để ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{4} + (6 m - 4) x^{2} + 1 - m$ là ba đỉnh của một tam giác vuông là

A. $m = - \frac{2}{3}$

B. $m = - \frac{1}{3}$

C. $m = \frac{2}{3}$

D. $m = \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

TXĐ: $D = ℝ$ .

$y^{'} = 4 x^{3} + 2 (6 m - 4) x = 0 \Leftrightarrow 4 x [x^{2} + (3 m - 2)] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2 - 3 m} \end{array} .$

Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì $m < \frac{2}{3}$

Đồ thị hàm số có các điểm cực trị là $M (0; 1 - m), A (- \sqrt{2 - 3 m}; - 9 m^{2} + 11 m - 3), B (\sqrt{2 - 3 m}; - 9 m^{2} + 11 m - 3) .$

Để tam giác MAB vuông tại M thì $\vec{M A} . \vec{M B} = 0$ hay

$\begin{array}{l} - (2 - 3 m) + {(- 9 m^{2} + 11 m - 3 - 1 + m)}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow {(- 9 m^{2} + 12 m - 4)}^{2} - (2 - 3 m) = 0 \\ \Leftrightarrow {(2 - 3 m)}^{4} - (2 - 3 m) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 - 3 m = 0 (l o a i) \\ 2 - 3 m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3} \end{array} . \end{array}$

Vậy $m = \frac{1}{3}$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 40:

17/06/2026

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ , có đồ thị (C). Gọi $A (a; y (a)), B (b; y (b))$ là hai điểm phân biệt thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại A, B có cùng hệ số góc. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a + b = 0$

B. $a + b = 1$

C. $a + b = 2$

D. $a + b = 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 41:

17/06/2026

Cho hàm số $y = f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + m x + 1.$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $f (|x|)$ có 3 điểm cực trị.

A. m=-1

B. m=2

C. m=0

D. m=1

Xem đáp án

Đáp án C

TXĐ: $D = ℝ$ .

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x + m .$

Để hàm số $f (|x|)$ có ba điểm cực trị thì $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 0.

Vậy m=0 thỏa mãn đề bài.

Câu 42:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a, $(S B C) ⊥ (A B C) .$ Biết $S B = 6 a, \hat{S B C} = 60^{0}$ . Tính khoảng cách từ B đến (SAC).

A. $\frac{6 \sqrt{57} a}{19}$

B. $\frac{2 \sqrt{3} a}{19}$

C. $\frac{2 \sqrt{3} a}{19}$

D. $\frac{\sqrt{57} a}{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 43:

17/06/2026

Người ta làm một chiếc phao bơi như hình vẽ (với bề mặt có được bằng cách quay đường tròn (C) quanh trục d). Biết rằng $O I = 20 c m, R = 5 c m .$ Tính thể tích V của chiếc phao.

A. $500 π$

B. $1000 π^{2}$

C. $1000 π$

D. $500 π^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Độ dài của phao là $2 π .20 = 40 π$ .

Vậy thể tích $V = \int_{0}^{40 π} (π 5^{2}) d x = {25 π x|}_{0}^{40 π} = 1000 π^{2}$

Câu 44:

17/06/2026

Trong không gian với hệt tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ lần lượt có phương trình $d_{1} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{3}, d_{2} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z + 1}{4} .$ Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ .

A. $- 7 x + 2 y - 4 z + \frac{13}{2} = 0$

B. $- 7 x + 2 y - 4 z - \frac{17}{2} = 0$

C. $7 x - 2 y - 4 z - \frac{13}{2} = 0$

D. $7 x - 2 y - 4 z - \frac{17}{2} = 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 45:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $4 {\log^{2}}_{4} x - 2 \log_{2} x + 3 - m = 0$ có nghiệm thuộc đoạn $[\frac{1}{2}; 4] .$

A. $[2; 3]$

B. $[\frac{11}{4}; 15]$

C. $[\frac{11}{4}; 9]$

D. $[2; 6]$

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: x > 0.

Đặt $t = \log_{2} x$ . Khi đó

$\begin{array}{l} 4 {\log^{2}}_{4} x - 2 \log_{2} x + 3 - m = 0 \\ \Leftrightarrow 4. \frac{1}{4} {\log^{2}}_{2} x - 2 \log_{2} x + 3 - m = 0 \\ \Leftrightarrow t^{2} - 2 t + 3 - m = 0. \end{array}$

Để thỏa mãn đề bài thì phương trình $t^{2} - 2 t + 3 - m = 0$ có nghiệm thuộc đoạn $[- 1; 2]$

$\begin{array}{l} t^{2} - 2 t + 3 - m = 0 \\ \Leftrightarrow t^{2} - 2 t + 3 = m . \end{array}$

Từ đồ thị hàm số $y = t^{2} - 2 t + 3$ nhân thấy $2 \leq m \leq 6$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 46:

17/06/2026

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?

A. 500

B. 405

C. 328

D. 360

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi số tự nhiên chẵn cần tìm có dạng $\bar{a b c}, c \in \{0; 2; 4; 6; 8\}$

Xét các số có dạng $\bar{a b 0}$ có tất cả $A_{9}^{2} = 72$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Xét các số dạng $\bar{a b c}, c \in \{2; 4; 6; 8\}$ có tất cả: $4.8.8 = 256$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy số các số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau là: $72 + 256 = 328$ số.

Câu 47:

17/06/2026

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, $A B = 8,$ $S A = S B = 6$ . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và song song với (SAB). Tính diện tích của thiết diện của (P) và hình chóp $S . A B C D$ .

A. 13

B. 12

C. $5 \sqrt{5}$

D. $6 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án D

Qua O dựng đường thẳng $P Q ∥ A B$ . Vậy P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC.

Qua P dựng đường thẳng $P N ∥ S A$ . Vậy N là trung điểm của SD

Qua Q dựng đường thẳng $Q M ∥ S B$ . Vậy M là trung điểm của SC.

Nối M và N ⇒ thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNPQ.

Vì $P Q ∥ C D, M N ∥ C D \Rightarrow P Q ∥ M N$ . Vậy tứ giác MNPQ là hình thang.

Ta có $P Q = A B = 8 $, M N = \frac{1}{2} A B = 4, M Q = N P = \frac{1}{2} S A = 3$ . Vậy MNPQ là hình thang cân.

Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh M của hình thang MNPQ. Khi đó ta có

$H Q = \frac{1}{4} P Q = 2 \Rightarrow M H = \sqrt{M Q^{2} - H Q^{2}} = \sqrt{5}$

Vậy diện tích của thiết diện cần tìm là $S = \frac{(M N + P Q) M H}{2} = 6 \sqrt{5} .$

Câu 48:

17/06/2026

Xác định a, b để phương trình $x^{3} + a x + b = 0$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. $b = 0, a = 1$

B. $b = 0, a < 0$

C. $b = 0, a > 0$

D. $b > 0, a < 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

Suy ra $2 x_{2} = x_{1} + x_{3}$ .

Lại có $(x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) = 0$ $\Leftrightarrow x^{3} - (x_{1} + x_{2} + x_{3}) x^{2} + (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}) x - x_{1} x_{2} x_{3} = 0$ .

Đồng nhất với phương trình $x^{3} + a x + b = 0$ .

Suy ra $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \Rightarrow x_{2} = 0$

Thay $x_{2} = 0$ vào phương trình đã cho $\Rightarrow b = 0$

Phương trình đã cho trở thành $x^{3} + a x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{ll} x = 0 \\ x^{2} + a = 0 & (1) \end{array}$

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

$\Rightarrow a < 0$

Vậy $b = 0, a < 0$ .

Câu 49:

17/06/2026

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, $\hat{A B C} = 60^{\circ}$ , $S A = S B = S C = 2 a$ . Tính khoảng cách giữa AB và SC.

A. $\frac{a \sqrt{11}}{8}$

B. $\frac{3 a \sqrt{11}}{4}$

C. $\frac{a \sqrt{11}}{12}$

D. $\frac{a \sqrt{11}}{12}$

Xem đáp án

Từ giả thiết suy ra: hình chóp S.ABC là hình chóp đều.

Gọi G là trọng tâm tam giác $A B C \Rightarrow S G ⊥ (A B C D)$

$A B / / C D \Rightarrow A B / / (S C D) \Rightarrow d (A B; S C) = d (A B; (S C D)) = d (B; (S C D)) = \frac{3}{2} d (G; (S C D))$

(Vì $\frac{B D}{G D} = \frac{3}{2}$ ).

Trong mp (ABCD) vẽ $G C ⊥ C D, C D ⊥ S G$ $\Rightarrow C D ⊥ (S G C) \Rightarrow (S G C) ⊥ (S C D)$

Mà $(S G C) \cap (S C D) = S C$ , vẽ $G H ⊥ S C$ $\Rightarrow d (G; (S C D)) = G H$

$G B = G C = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

$\Rightarrow S G = \sqrt{S B^{2} - B G^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \frac{a \sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Tam giác SHG vuông tại G:

$\frac{1}{G H^{2}} = \frac{1}{S G^{2}} + \frac{1}{G C^{2}} = \frac{3}{11 a^{2}} + \frac{3}{a^{2}} = \frac{36}{11 a^{2}} \Rightarrow G H = \frac{a \sqrt{11}}{6}$

Vậy $d (A B; S C) = \frac{a \sqrt{11}}{4}$

Câu 50:

17/06/2026

Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ là

A. 4

B. $2 \sqrt{2}$

C. 2

D. $4 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $x \neq - 1$ .

Ta có $y = \frac{x - 1}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$

Gọi $A (x_{1}; 1 - \frac{2}{x_{1} + 1}); B (x_{2}; 1 - \frac{2}{x_{2} + 1})$ là các điểm thuộc đồ thị hàm số. Suy ra $A B^{2} = {(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(\frac{2}{x_{2} + 1} - \frac{2}{x_{1} + 1})}^{2}$

Giả sử A thuộc nhánh trái và B thuộc nhánh phải, khi đó $x_{1} < - 1 < x_{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 - x_{1} < 0 \\ x_{2} + 1 > 0 \end{cases}$

Đặt $\{\begin{cases} t_{1} = - 1 - x_{1} \Rightarrow t_{1} > 0 \\ t_{2} = x_{2} + 1 \Rightarrow t_{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = - 1 - t_{1} \\ x_{2} = t_{2} - 1 \end{cases} \Leftrightarrow x_{1} - x_{2} = - t_{1} - t_{2} .$

$\begin{array}{l} A B^{2} = {(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(\frac{2}{x_{2} + 1} - \frac{2}{x_{1} + 1})}^{2} \\ = {(t_{1} + t_{2})}^{2} + {(\frac{2}{t_{2}} + \frac{2}{t_{1}})}^{2} = {t_{1}}^{2} + 2 t_{1} t_{2} + {t_{2}}^{2} + \frac{4}{{t_{1}}^{2}} + \frac{8}{t_{1} t_{3}} + \frac{4}{{t_{2}}^{2}} \\ = ({t_{1}}^{2} + \frac{4}{{t_{1}}^{2}}) + ({t_{2}}^{2} + \frac{4}{{t_{2}}^{2}}) + (2 t_{1} t_{2} + \frac{8}{t_{1} t_{2}}) . \end{array}$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $\{\begin{cases} ({t_{1}}^{2} + \frac{4}{{t_{1}}^{2}}) \geq 2 \sqrt{{t_{1}}^{2} . \frac{4}{{t_{1}}^{2}}} = 4 \\ ({t_{2}}^{2} + \frac{4}{{t_{2}}^{2}}) \geq 2 \sqrt{{t_{2}}^{2} . \frac{4}{{t_{2}}^{2}}} = 4 \\ 2 t_{1} t_{2} + \frac{8}{t_{1} t_{2}} \geq 2 \sqrt{2 t_{1} t_{2} . \frac{8}{t_{1} t_{2}}} = 8. \end{cases}$ .

Vậy $A B^{2} \geq 4 + 4 + 8 = 16 \Rightarrow A B \geq 4$

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3